題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
某大學畢業生參加一個公司的招聘考試，考試分筆試和面試兩個環節，筆試有A、B兩個題目，該學生答對A、B兩題的概率分別為
、
，兩題全部答對方可進入面試.面試要回答甲、乙兩個問題，該學生答對這兩個問題的概率均為，至少答對一題即可被聘用（假設每個環節的每個問題回答正確與否是相互獨立的）.
（I）求該學生被公司聘用的概率；
（II）設該學生答對題目的個數為
，求的分布列和數學期望.
（本小題滿分12分）
某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為
、
、
，且各輪問題能否正確回答互不影響.
（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率；
（Ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個數記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數數期望.（注：本小題結果可用分數表示）
（本小題滿分12分）
某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩人同時在地鐵第一號車站(首發站)乘車.假設每人自第2號車站開始,在每個車站下車是等可能的。約定用有序實數對
表示“甲在
號車站下車，乙在
號車站下車”．
（1）用有序實數對把甲、乙兩人下車的所有可能的結果列舉出來；
（2）求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率；
（3）求甲、乙兩人在不同的車站下車的概率．
（本小題滿分12分）
某大學高等數學老師上學期分別采用了
兩種不同的教學方式對甲、乙兩個大一新生班進行教改試驗（兩個班人數均為60人，入學數學平均分數和優秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）。現隨機抽取甲、乙兩班各20名同學的上學期數學期末考試成績，得到莖葉圖如下：
（Ⅰ）依莖葉圖判斷哪個班的平均分高？
（Ⅱ）從乙班這20名同學中隨機抽取兩名高等數學成績不得低于85分的同學，求成績為90分的同學被抽中的概率；
（Ⅲ）學校規定：成績不低于85分的為優秀，請填寫下面的
列聯表，并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成績優秀與教學方式有關？”
|
|
甲班 |
乙班 |
合計 |
|
優秀 |
|
|
|
|
不優秀 |
|
|
|
|
合計 |
|
|
|
下面臨界值表僅供參考：
|
|
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
|
|
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
（參考公式：
其中
）
（Ⅳ）從乙班高等數學成績不低于85分的同學中抽取2人，成績不低于90分的同學得獎金100元，否則得獎金50元，記
為這2人所得的總獎金，求的分布列和數學期望。
（本小題滿分12分）
某旅游公司為3個旅游團提供甲、乙、丙、丁4條旅游線路，每個旅游團從中任選一條。
（I）求3個旅游團選擇3條不同的旅游線路的概率；
（II）求恰有2條旅游線路沒有被選擇的概率；
（III）求選擇甲旅游線路的旅游團數的分布列及數學期望。
評分說明：
1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則．
2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數．選擇題不給中間分．
一．選擇題
1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．C 7．C 8．A 9．B 10．D
11．B 12．D
二．填空題
13．300； 14．60； 15．①、②
③或①、③②； 16．103．
三．解答題
17．解：
（Ⅰ）因為
點的坐標為
，根據三角函數定義可知
，
，
，
所以
． 2分
（Ⅱ）∵
，
，∴
． 3分
由余弦定理，得
． 5分
∵
，∴
，∴
． 7分
∴
，∴
． 9分
故BC的取值范圍是
．（或寫成
） 10分
18．解：
（Ⅰ）記“恰好選到1個曾經參加過社會實踐活動的同學”為事件的， 1分
則其概率為
． 5分
（Ⅱ）記“活動結束后該宿舍至少有3個同學仍然沒有參加過社會實踐活動”為事件的B，“活動結束后該宿舍仍然有3個同學沒有參加過社會實踐活動”為事件的C，“活動結束后該宿舍仍然有4個同學沒有參加過社會實踐活動”為事件的D． 6分
∵
，
． 10分
=
+
=
． 12分
19．證：
（Ⅰ）因為四邊形
是矩形∴
，
又∵AB⊥BC，∴
平面
． 2分
∵
平面
，∴平面CA1B⊥平面A1ABB1． 3分
解：（Ⅱ）過A1作A1D⊥B1B于D，連接
，
∵平面，
∴BC⊥A1D．
∴
平面BCC1B1，
故∠A1CD為直線
與平面所成的角．
5分
在矩形中，
，
因為四邊形是菱形，∠A1AB＝60°, CB＝3，AB＝4，
，
． 7分
（Ⅲ）∵
，∴
平面
．
∴
到平面的距離即為
到平面的距離． 9分
連結
，與
交于點O，
∵四邊形是菱形，∴
．
∵平面
平面，∴
平面．
∴
即為到平面的距離． 11分
，∴到平面的距離為
． 12分
20．解：
（Ⅰ）由題意，
， 1分
又∵數列
為等差數列，且
，∴
． 3分
∵
，∴
． 5分
（Ⅱ）
的前幾項依次為
， 7分
∴
＝5． 8分
∴
＝
． 12分
21．解：
（Ⅰ）∵
， 2分
由
，得
或
． 4分
的單調增區間為
和
． 5分
（Ⅱ）當
時，恒有|
|≤2，即恒有
成立．
即當時，
6分
由（Ⅰ）知在
上為增函數，在
上為減函數，在
上為增函數，
∵
，
，∴
．
∴max＝． 8分
∵
，
，∴
．
∴min＝． 10分
由
且
．解得
．
所以，當時，函數在
上恒有||≤2成立． 12分
22．解：
（Ⅰ）由已知，
，
由
解得
2分
∵
，∴
軸，
． 4分
∴
，
∴
成等比數列． 6分
（Ⅱ）設
、
，由
消
得 
，
∴
8分
∵
． 10分
∵
，∴
．∴
，或
．
∵m>0，∴存在，使得． 12分
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