題目列表(包括答案和解析)
2009年4月
一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．
1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．A 7．C 8．A 9．B 10．B
二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．
11．4 12．
13．
14．
15．①
三、解答題：本題共6小題，共75分．
16．解：(1) 
∴ 
∵ 
∴ 
∴ 
(2) 
∴
∴
∴
∴ 
17．解：(1) 甲隊以二比一獲勝，即前兩場中甲勝1場，第三場甲獲勝
，其概率為
(2) 乙隊以2∶0獲勝的概率為
；
乙隊以2∶１獲勝的概率為
∴乙隊獲勝的概率為P2=P'2+Ｐ''2=0.16+0.192=0.352.
18．解：(1) ∵ 函數
是定義在R上的奇函數，
∴ 
∵ 
∴ 
．
又
在
處的切線方程為
，
由
∴ 
，且
， ∴ 
得
(2) 
依題意
對任意
恒成立，
∴ 
對任意
恒成立，即
對任意恒成立，
∴ 
．
19．解法一：(1) 證明：取
中點為
，連結
、
，
∵△
是等邊三角形， ∴
又∵側面
底面
，
∴
底面，
∴為
在底面上的射影，
又∵
，
，
∴
， ∴
，
∴
， ∴
．
(2) 取中點
，連結
、
，
∵
． ∴
．
又∵，
，
∴
平面
，∴，
∴
是二面角
的平面角.
∵
，
，
∴
．
∴
，∴
，∴
，
∴二面角
的大小為
解法二：證明：(1) 取中點為，
中點為
，連結
，
∵△是等邊三角形，∴，
又∵側面底面，∴底面，
∴以為坐標原點，建立空間直角坐標系
如圖，
∵
，△是等邊三角形，
∴
，
∴
．
∴
．
∵
∴．
(2) 設平面
的法向量為
∵
∴
令
，則
，∴
設平面
的法向量為
，
∵
，∴
，
令
，則
，∴
∴
，
∴
， ∴二面角的大小為
.
20．解：(1) 由題意得，
①，
當
時，
，解得
，
當
時，有
②，
①式減去②式得，
于是，
，
，
因為
，所以
，
所以數列
是首項為
，公差為的等差數列，
所以的通項公式為
（
）．
(2) 設存在滿足條件的正整數
，則
，
，
，
又
，
，…，
，
，
，…，
，
所以
，，…，均滿足條件，
它們組成首項為，公差為
的等差數列．……（8分）
設共有
個滿足條件的正整數，則
，解得
．（10分）
所以，中滿足條件的正整數存在，共有
個，的最小值為
．（12分）
21．（Ⅰ）法1：依題意，顯然
的斜率存在,可設直線的方程為
，
整理得
． ①
設
是方程①的兩個不同的根，
∴
， ②
且
，由
是線段的中點，得
，∴
．
解得
，代入②得，
的取值范圍是（12，+∞）．
于是，直線的方程為
，即
法2：設
，
，則有
依題意，
，∴
．
∵
是
的中點，∴
，
，從而
．
又由
在橢圓內，∴
，
∴
的取值范圍是
．
直線
的方程為，即
．
(2) ∵
垂直平分，∴直線
的方程為
，即
，
代入橢圓方程，整理得
． ③
又設
，
的中點為
，則
是方程③的兩根，
∴
．
到直線的距離
，
故所求的以線段的中點
為圓心且與直線
相切的圓的方程為：
．
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