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在平面直角坐標系中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=a²，且過點A（

a2

c

，0）所作圓的兩條切線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓離心率；
（Ⅱ）若直線y=2

3

與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；
（Ⅲ）設點T（0，3）在橢圓內部，若橢圓C上的點到點P的最遠距離不大于5

2

，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

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2009年曲靖一種高考沖刺卷理科數學（一）

一、

1 B 2C 3A 4A 5 A 6 D 7D 8C 9B

10B 11 C 12 A

1依題意得，所以故，因此選B

2依題意得。又在第二象限，所以，

，故選C

3

且，

因此選A

4 由

因為為純虛數的充要條件為

故選A

5如圖，

故選A

6．設

則

故選D

7．設等差數列的首項為，公差，因為成等比數列，所以，即，解得，故選D

8．由，所以分之比為2，設（，則，又點在圓上，所以，即+-4，化簡得=16，故選C

9．長方體的中心即為球心，設球半徑為，則

于是兩點的球面距離為故選B

10.先分別在同一坐標系上畫出函數與的圖象（如圖1）

觀察圖2，顯然，選B

11.依題意，

故

故選C

12.由題意知，

    ①

代入式①得

由方程的兩根為

又

即故選A。

二、

13．5   14．7    15．22    16．①

13．5．線性規劃問題先作出可行域，注意本題已是最優的特定參數的特點，可考慮特殊的交點，再驗證,由題設可知

應用運動變化的觀點驗證滿足為所求。

14.7. 由題意得又

因此A是鈍角，

15．22，連接，的周章為

16．①當時，，取到最小值，因次，是對稱軸：②當時，因此不是對稱中心；③由，令可得故在上不是增函數；把函數的圖象向左平移得到的圖象，得不到的圖象，故真命題序號是①。

三

 17．（1）在上單調遞增，在上恒成立，即在上恒成立，即實數的取值范圍

（2）由題設條件知在上單調遞增。

由得，即

即的解集為

又的解集為

18．（1）過作子連接

側面

。

故是邊長為2的等邊三角形。又點，又是在底面上的射影，

（法一）（2）就是二面角的平面角，和都是邊長為2的正三角形，又即二面角的大小為45°

（3）取的中點為連接又為的中點，，又，且在平面上，又為的中點，又線段的長就是到平面的距離在等腰直角三角形中，，，，即到平面的距離是

（法二）（2），以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則點設平面的法向量為，則，解得，取則，平面的法向量

向量所成角為45°故二面角的大小為45°，

（3）由，的中點設平面的法向量為，則，解得 則故到平面的距離為

19.（1）取值為0，1，2，3，4

的分布列為

0

1

2

3

4

P

（2）由

即

又

所以，當時，由得

當時，由得

即為所求‘

20.（1）在一次函數的圖像上，

于是，且

數列是以為首項，公比為2的等比數列

（3）      由（1）知

21.（1）由題意得：

點Q在以M、N為焦點的橢圓上，即

點Q的軌跡方程為

（2）

設點O到直線AB的距離為，則

當時，等號成立

當時，面積的最大值為3

22.（1）

（2）由題意知

（3）等價證明

由（1）知