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如圖，已知雙曲線，其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B．過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足，．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點B作直線l分別交雙曲線的左支、右支于M、N兩點，且△OMN的面積S_△OMN=，求l的方程．

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如圖，已知雙曲線（a＞0，b＞0）其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B，過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足：（O為原點）且
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點B的直線l交雙曲線于 M、N兩點，問在y軸上是否存在定點C，使?為常數，若存在，求出C點的坐標，若不存在，請說明理由．

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如圖，已知雙曲線（a＞0，b＞0）其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B，過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足：（O為原點）且
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點B的直線l交雙曲線于 M、N兩點，問在y軸上是否存在定點C，使?為常數，若存在，求出C點的坐標，若不存在，請說明理由．

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如圖，已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一條準線方程是x=

25

4

，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的方程；
（2）在第一象限內取雙曲線C₂上一點P，直線AP、PB分別交橢圓C₁于點M、點N，若△AMN與△PMN的面積相等．①求P點的坐標 ②求證：

MN

•

AB

=0．

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2009年4月

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．

1．A    2．D    3．B    4．A    5．D    6．C    7．D    8．B    9．B    10．C

二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．

11．                                    12．                                  13．

14．                                  15．①②⑤

三、解答題：本題共6小題，共75分．

16．解：(1) ??????????????????????????????????????? 3分

∴

∵

∴ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴

(2) ????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴ ?????????????? 13分

17．解：(1) 有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為??????????????????????????? 2分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????????????????? 7分

?????????????????????????????? 9分

??????????????????????????????? 11分

∴ 的分布列為

35

40

45

50

P

???????????????????????????????????? 13分

18．(1) 證明：取CE中點M，則 FMDE

∵ ABDE       ∴ ABFM

∴ ABMF為平行四邊形

∴ AF∥BM

又AF平面BCE，BM平面BCE

∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 解：過C作l∥AB，則l∥DE     ∴ 平面ABC平面CDE = l

∵ AB⊥平面ACD      ∴ l⊥平面ACD

∴ ∠ACD即為所求二面角的平面角，為60?????????????????????????????????? 8分

(3) 解：設B在平面AFE內的射影為，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．

∴ BE與平面AFE所成角為

∵ AF⊥CD，AF⊥DE   ∴ AF⊥平面CDE    ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF

∵ BM∥平面AEF       ∴

由△CGF∽△EDF，得    ∴

而     ∴

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

19．解：(1) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

由       由

∴ 上單調遞減，在上單調遞增????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????? 6分

∵ 上遞減     ∴ ??????????????? 9分

設    ∵    ∴上遞減

∴  即

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：(1)  B（0，? b），A（，0），F（c，0），P（c，）

∵       ∴ D為線段FP的中點，

∴ D為（c，）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∴ ，∴ a = 2b，

∴ ?????????????????????????????????????????????? 5分

(2)  a = 2，則b = 1，B（0，?1）     雙曲線的方程為   ①

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），C（0，m）

由

由已知???????????????????????????? 7分

設

整理得：

對滿足的k恒成立

∴ ．

故存在y軸上的點C（0，4），使為常數17．????????????????????? 12分

21．解：(1) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

切線方程為與y = kx聯立得：

，令y = 0得：x_B = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分

∴ ??????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 由??????????????????????????????????????????????????? 5分

兩邊取倒數得：      ∴

∴ 是以為首項，為公比的等比數列（時）

或是各項為0的常數列（k = 3時），此時a_n = 1

時??????????????????????????????? 7分

當k = 3時也符合上式

∴????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

(3) 作差得

其中

由于 1 < k < 3，∴

∴

當?????????????????????????????????????????????????? 12分