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設函數f（x）的定義域為R，若|f（x）|≤|x|對一切實數x均成立，則稱函數f（x）為Ω函數．
（Ⅰ）試判斷函數f₁（x）=xsinx、f₂（x）=

e-x

ex+1

和f₃（x）=

x2

x2+1

中哪些是Ω函數，并說明理由；
（Ⅱ）若函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求證：函數f（x）一定是Ω函數；
（Ⅲ）求證：若a＞0，則函數f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數．

記函數f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，y₀）為坐標的點是函數f（x）的圖象上的“穩定點”．
（1）若函數f(x)=

3x-1

x+a

的圖象上有且只有兩個相異的“穩定點”，試求實數a的取值范圍；
（2）已知定義在實數集R上的奇函數f（x）存在有限個“穩定點”，求證：f（x）必有奇數個“穩定點”．

設函數f（x）是定義在R上的奇函數，且圖象關于點（

3

2

，0）成中心對稱．
（1）證明：y=f（x）為周期函數，并指出其周期；
（2）若f（-1）=-2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．