題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
高三數學試卷（文科） 2009.4
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
A
D
C
A
一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.
二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.
9. 36
10. 10 11.
2, 8 12. 
13. 
14.
5, 2
注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.
三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.
15.（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：由余弦定理
，
----------------------------3分
得
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 
,
所以角
為銳角，所以
，
----------------------------7分
則
--------------------------10分
.
所以
.
---------------------------12分
16.（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發言” 為事件A. -----------------------------1分
由題意，得事件A的概率
，
即2次匯報活動都是由小組成員甲發言的概率為
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：由題意，每次匯報時，男生被選為代表的概率為
，女生被選為代表的概率為
.
----------------------------6分
記“男生發言次數不少于女生發言次數”為事件B，
由題意，事件B包括以下兩個互斥事件：
1事件B1：男生發言2次女生發言0次，其概率為
，
----------------------------8分
2事件B2：男生發言1次女生發言1次，其概率為
，
----------------------------10分
所以，男生發言次數不少于女生發言次數的概率為
.
---------------------------12分
17.（本小題滿分14分）
方法一：（Ⅰ）證明：在
中，
，
，
，即
，
---------------------------1分
，
平面
.
---------------------------4分
（Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知
平面
，
AC為PA在平面ABCD內的射影，
為PA與平面ABCD所成的角. --------------6分
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
PA與平面ABCD所成角的大小為
.
---------------------------8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
又
，
平面
.
---------------------------9分
如圖，過C作
于M，連接BM，
是BM在平面PCD內的射影，
，
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------11分
在
中, 
, PC=1, 
，
，
又，
，
，
在
中, 
, BC=1, 
,
,
二面角B-PD-C的大小為
.
--------------------------14分
方法二：（Ⅰ）同方法一. ---------------------------4分
（Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，
AC為PA在平面ABCD內的射影，
為PA與平面ABCD所成的角.
---------------------------6分
如圖，在平面ABCD內，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，
則
, 
，
---------------------------7分
，
PA與平面ABCD所成角的大小為
.
---------------------------9分
（Ⅲ）過C作
于M，連接BM，設
，
則
，
，
；
1
共線，
，
2
由12，解得
，
點的坐標為
，
，
，
,
，
又，
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------12分
，
，
，
二面角B-PD-C的大小為
.
--------------------------14分
18.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：因為
，
所以當
時，
，解得
，
---------------------------2分
當
時，
，即
，解得
，
所以
，解得
；
---------------------------5分
則
，數列
的公差
，
所以
.
---------------------------8分
（Ⅱ）因為 
---------------------------9分
---------------------------12分
.
因為
，
所以 
.
-------------------------14分
注：為降低難度，此題故意給出多余條件，有多種解法，請相應評分.
19.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：設A(x1, y1)，
因為P為AM的中點，且P的縱坐標為0，M的縱坐標為1，
所以
，解得
，
-------------------------1分
又因為點A(x1, y1)在橢圓C上，
所以
，即
，解得
，
則點A的坐標為
或
，
-------------------------3分
所以直線l的方程為
，或
. -------------------------5分
（Ⅱ）設A(x1, y1)，B(x2, y2)，則
所以
，
則
，
-------------------------7分
當直線AB的斜率不存在時，其方程為
，
，此時
；
-------------------------8分
當直線AB的斜率存在時，設其方程為
，
由題設可得A、B的坐標是方程組
的解，
消去y得
，
所以
， -------------------------10分
則
，
所以
，
當
時，等號成立, 即此時
取得最大值1. -------------------------13分
綜上，當直線AB的方程為或
時，有最大值1. -------------------14分
20.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：當
時，
，
因為
，
所以，函數
的圖象不能總在直線
的下方.
---------------------------3分
（Ⅱ）解：由題意，得
，
令
，解得
或
，
--------------------------4分
當
時，由
，解得
，
所以在
上是增函數，與題意不符，舍去；
當
時，由
，與題意不符，舍去； --------------------------6分
當
時，由，解得
，
所以在
上是增函數，
又在(0，2)上是增函數，
所以
，解得
，
綜上，a的取值范圍為
.
---------------------------9分
（Ⅲ）解：因為方程
最多只有3個根，
由題意，得在區間
內僅有一根，
所以
，
1
同理
，
2
--------------------------11分
當
時，由1得
，即
，
由2得
，即
，
因為
，所以
，即
；
當
時，由1得
，即
，
由2得
，即
，
因為，所以
，即
；
當
時，因為
，所以
有一根0，這與題意不符.
綜上，
.
---------------------------14分
注：在第（Ⅲ）問中，得到12后，可以在坐標平面aOb內，用線性規劃方法解. 請相應評分.
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