設數列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通項公式，并加以證明；
（Ⅲ）設x＞0，y＞0，且x+y=1，證明：

anx+1

+

any+1

≤

2(n+2)

．

設數列{a_n}，{b_n}滿足a1=1，an+1=

n+1

2n

an，且b_n=ln（1+a_n）+

1

2

a

2 n

，n∈N*．
（1）證明：

2

an+2

＜

an

bn

＜1；
（2）記{a_n²}，{b_n}的前n項和分別為A_n，B_n，證明：2B_n-A_n＜8．