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平面直角坐標系xOy中，動點P從點P₀（4，0）出發，運動過程中，到定點F（-2，0）的距離與到定直線l：x=-8的距離之比為常數．
①求點P的軌跡方程；
②在軌跡上是否存在點M（s，t），使得以M為圓心且經過定點F（-2，0）的圓與直線x=8相交于兩點A、B？若存在，求s的取值范圍；若不存在，說明理由．

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，-3）、N（5，1），若點C滿足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），點C的軌跡與拋物線：y²=4x交于A、B兩點．
（Ⅰ）求證：

OA

⊥

OB

；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點P（m，0）（m∈R），使得過P點的直線交拋物線于D、E兩點，并以該弦DE為直徑的圓都過原點．若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

平面內與兩定點A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A₁、A₂兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線．
（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；
（Ⅱ）當m=-1時，對應的曲線為C₁；對給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），對應的曲線為C₂，設F₁、F₂是C₂的兩個焦點．試問：在C₁上，是否存在點N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，請說明理由．

平面內動點M與點P₁（-2，0），P₂（2，0），所成直線的斜率分別為k₁、k₂，且滿足k1k2=-

1

2

．
（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程，并指出E的曲線類型；
（Ⅱ）設直線：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y軸于點A、B，交曲線E于點C、D，且|AC|=|BD|．
（1）求k的值；
（2）若點N(

2

，1)，求△NCD面積取得最大時直線l的方程．