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長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,E是CC1中點,以A為原點建立空間直角坐標系,如圖,則點E的

坐標為

A.(1,1,2)B.(2,2,2)C.(0,2,2)D.(2,0,2)

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,AB=AD=2,AA₁=4,E是CC₁中點,以A為原點建立空間直角坐標系,如圖,則點E的 坐標為

  A.(1,1,2)    B.(2,2,2)  C.(0,2, 2)   D.(2,0,2)

長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,E是CC1中點,以A為原點建立空間直角坐標系,如圖,則點E的
坐標為

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.