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已知，（其中）

⑴求及；

⑵試比較與的大小，并說明理由．

【解析】第一問中取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導，得

取，則得到結論

第二問中，要比較與的大小，即比較：與的大小，歸納猜想可得結論當時，；

當時，；

當時，；

猜想：當時，運用數學歸納法證明即可。

解：⑴取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導，得，

取，則。       …………4分

⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，

當時，；

當時，；

當時，；                              …………6分

猜想：當時，，下面用數學歸納法證明：

由上述過程可知，時結論成立，

假設當時結論成立，即，

當時,

而

∴

即時結論也成立，

∴當時，成立。                          …………11分

綜上得，當時，；

當時，；

當時， 

 

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數的值； 

（Ⅱ）求在區間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

又，，。∴在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調遞增。∴在最大值為。

綜上，當時，即時，在區間上的最大值為2；

當時，即時，在區間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

（(本小題共13分)

若數列滿足，數列為數列，記=.

（Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數列；

（Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2011；

（Ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由。

【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A₅）

（Ⅱ）必要性：因為E數列A₅是遞增數列，所以.所以A₅是首項為12，公差為1的等差數列.所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1，a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1……a₂—a₁1所以a₂₀₀₀—a19999，即a₂₀₀₀a₁+1999.又因為a₁=12，a₂₀₀₀=2011,所以a₂₀₀₀=a₁+1999.故是遞增數列.綜上，結論得證。

 

 

已知數列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設 (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結論。

解：(Ⅰ)當時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數學歸納法）①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

即

故當時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

 

已知向量（），向量，，

且.

（Ⅰ）求向量； （Ⅱ）若，，求.

【解析】本試題主要考查了向量的數量積的運算，以及兩角和差的三角函數關系式的運用。

（1）問中∵，∴，…………………1分

∵，得到三角關系是，結合，解得。

（2）由，解得，，結合二倍角公式，和,代入到兩角和的三角函數關系式中就可以求解得到。

解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分

∵，∴，即   ①  …………2分

又 ②   由①②聯立方程解得，，5分

∴     ……………6分

（Ⅱ）∵即，，  …………7分

∴，               ………8分

又∵，          ………9分

，            ……10分

∴．

解法二: (Ⅰ)，…………………………………1分

又，∴，即，①……2分

又    ②

將①代入②中，可得   ③    …………………4分

將③代入①中，得……………………………………5分

∴   …………………………………6分

(Ⅱ) 方法一 ∵,，∴，且……7分

∴，從而.      …………………8分

由(Ⅰ)知， ；     ………………9分

∴.     ………………………………10分

又∵，∴， 又，∴    ……11分

綜上可得  ………………………………12分

方法二∵,，∴，且…………7分

∴.                                 ……………8分

由(Ⅰ)知， .                …………9分

∴             ……………10分

∵，且注意到，

∴，又，∴   ………………………11分

綜上可得                    …………………12分

（若用，又∵ ∴ ，