題目列表(包括答案和解析)
（04年天津卷）（12分）
已知
(I)求
的值；
(II)求
的值。
設
的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知
(I)求的第三條邊長c；
(II)求
的值。
本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣
，向量
．
(I)求矩陣
的特征值
、
和特征向量
；
(II)求
的值．
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為
．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知：a、b、
；www.7caiedu.cn
（Ⅱ）某長方體從一個頂點出發的三條棱長之和等于3，求其對角線長的最小值.
本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣
，向量
．
(I)求矩陣
的特征值
、
和特征向量
；
(II)求
的值．
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為
．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知：a、b、
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）某長方體從一個頂點出發的三條棱長之和等于3，求其對角線長的最小值.
（本小題滿分12分）
已知
(I)求
的值；
(II)求
的值。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.
CABCA，BCDDC
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分 ，共25分，
11. 12； 12. 
； 13. 8； 14. x－2y－z+3=0； 15. ②④.
三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.解：(Ⅰ)
由已知 
， ∴ 
，
又 ΔABC是銳角三角形， ∴ 
………………………………6分
(Ⅱ) 
………………………………12分
17.解法一：（Ⅰ）∵
，
且 
∴ 
， ……………………3分
∵ 
∴ 
……………………6分
（Ⅱ）取
的中點
，則
，連結
，
∵
，∴
，從而
作
，交
的延長線于
，連結
，則由三垂線定理知， AC⊥MH，
從而
為二面角
的平面角
…………………8分
直線
與直線
所成的角為
，∴
…………………9分
在
中，由余弦定理得
在
中，
在
中，
在
中，
故二面角
的平面角大小為
…………………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面
內，過
作
，建立空間直角坐標系
（如圖）
由題意有
，設
，
則
………5分
由直線
與直線
所成的角為
，得
，即
，解得
………7分
∴
，設平面
的一個法向量為
，
則
，取
，得
……………9分
又 平面的法向量取為
……………10分
設
與
所成的角為
，則
，
故二面角的平面角大小為
……………12分
18. 解：(I)記“幸運觀眾獲得獎金5000元”為事件M，即前兩個問題選擇回答A、C且答對，最后在回答問題B時答錯了.
故 幸運觀眾獲得獎金5000元的概率為 
………………6分
(II) 設幸運觀眾按A→B→C順序回答問題所得獎金數為隨機變量ξ，則ξ的取值可以為0元、1000元、3000元和7000元，其分布列為
0
1000
3000
7000
P
∴ 
元. ………………9分
設幸運觀眾按C→B→A順序回答問題所得獎金數為隨機變量η，則η的取值可以為0元、4000元、6000元和7000元，其分布列為
η
0
4000
6000
7000
P
∴ 
元. ……11分
故 乙觀眾的選擇所獲獎金期望較大. ………………12分
19.解：（1）∵ 
……………………2分
由已知
對
恒成立，即
對恒成立
又 
∴ 
為所求 …………………………5分
（2）取
， ∵ 
， ∴ 
由已知
在
上是增函數，即
，
也就是
即 
…………8分
另一方面，設函數
，則 
∴
在
上是增函數，又
∴
當
時，
∴
，即 
綜上所述，
………………………………………………13分
20.解：(Ⅰ) 由題意可知，平面區域
如圖陰影所示． …3分
設動點為
，則
，即
．
由 
知
，x－y<0，即x2－y2<0．
所以 y2－x2＝4(y>0)，即為曲線的方程 …………6分
(Ⅱ)設
，
，則以線段
為直徑的圓的圓心為
.
因為以線段為直徑的圓
與
軸相切，所以半徑 
，
即 
………………………8分
因為直線AB過點
，當AB ^ x軸時，不合題意．
所以設直線AB的方程為 y＝k(x－2)．
代入雙曲線方程y2－x2＝4 (y＞0)得: (k2－1)x2－4k2x＋(8k2－4)＝0．
因為直線l與雙曲線交于A，B兩點，所以k≠±1．于是
x1＋x2＝，x1x2＝．
∴ |AB|=
∴ 
化簡得：k4＋2k2－1＝0 ……………………………11分
解得: k2＝－1 （k2＝－－1不合題意，舍去）．
由△＝(4k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．
所以直線l存在,其斜率為 k＝－. …………………13分
21. 解：(1) 因為 
,所以
,
于是: 
, 即
是以2為公比的等比數列.
|
，解得：
,
且
，所以
，于是
. ……3分
得：
是正整數列, 所以 
.
, 所以 
，…………………5分
得：
. 
得：
…………………6分
①
②
時，①式減去②式, 得
的前
項和 
．……………8分
時，
．這時數列
項和
．…………9分
的第一項
最大，下面證明：
③
知
，要使③式成立，只要 
，
，使得
對任意
均成立． ……………13分