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（本小題滿分12分）已知函數

（I）若函數在區間上存在極值，求實數a的取值范圍；

（II）當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍.

（Ⅲ）求證：解：（1），其定義域為，則令，

則，

當時，；當時，

在（0，1）上單調遞增，在上單調遞減，

即當時，函數取得極大值.                                       （3分）

函數在區間上存在極值，

 ，解得                                            （4分）

（2）不等式，即

令

（6分）

令，則，

，即在上單調遞增，                          （7分）

，從而，故在上單調遞增，       （7分）

          （8分）

（3）由（2）知，當時，恒成立，即，

令，則，                               （9分）

                                                                       （10分）

以上各式相加得，

即，

即                           

                                        （12分）

。

在中，滿足,是邊上的一點.

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

【解析】第一問中，利用向量的數量積設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求

第二問因為，=m所以，

（1）當時，則= 

（2）當時，則=

第三問中，解：設,因為，；

所以即于是得

從而

運用三角函數求解。

（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因為，=m所以，

（1）當時，則=；-2分

（2）當時，則=；--2分

（Ⅲ）解：設,因為，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數，在遞減，在上遞增，所以從而當時，

已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，令，則關于函數有下列命題

       ①的圖象關于原點對稱；  ②為偶函數；

       ③的最小值為0；       ④在（0，1）上為減函數。

       其中正確命題的序號為        （注：將所有正確命題的序號都填上）

設函數．

（I）求的單調區間；

（II）當0<a<2時，求函數在區間上的最小值．

【解析】第一問定義域為真數大于零，得到．．                            

令，則，所以或，得到結論。

第二問中， （）．

．                          

因為0<a<2，所以，．令 可得．

對參數討論的得到最值。

所以函數在上為減函數，在上為增函數．

（I）定義域為．           ………………………1分

．                            

令，則，所以或．  ……………………3分          

因為定義域為，所以．                            

令，則，所以．

因為定義域為，所以．          ………………………5分

所以函數的單調遞增區間為，

單調遞減區間為．                         ………………………7分

（II） （）．

．                          

因為0<a<2，所以，．令 可得．…………9分

所以函數在上為減函數，在上為增函數．

①當，即時，            

在區間上，在上為減函數，在上為增函數．

所以．         ………………………10分  

②當，即時，在區間上為減函數．

所以．               

綜上所述，當時，；

當時，