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已知f(n)=(2n+7)3ⁿ+9,存在自然數m,使得對任意正整數n,都能使m整除f(n)，猜測出最大的m的值。并用數學歸納法證明你的猜測是正確的。

【解析】本試題主要考查了歸納猜想的運用，以及數學歸納法的證明。

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

然后證明n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，則n=k+1時，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2?(k≥2)  證明得到。解析  ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 

證明  n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，則n=k+1時，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2?(k≥2)  f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數整除，∴所求最大的m值等于36