（2007•河北區一模）已知橢圓C的方程為 

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），過其左焦點F₁（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）若

OP

+

OQ

與

a

=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-

1

2

=0，在l上求一點M，使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長，求點M的坐標和此雙曲線E的方程．

如圖，已知曲線C：

x2

a2

+y2=1（a＞0），曲線C與x軸相交于A、B兩點，直線l過點B且與x軸垂直，點S是直線l上異于點B的任意一點，線段SA與曲線C交于點T，線段TB與以線段SB為直徑的圓相交于點M．
（I）若點T與點M重合，求

AT

•

AS

的值；
（II）若點O、M、S三點共線，求曲線C的方程．

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F₁，F₂，離心率為e=

2

2

，以F₁為圓心，|F₁F₂|為半徑的圓與直線x-

3

y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．