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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，一條準(zhǔn)線方程為x=4．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M，設(shè)直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點為S，T點E在橢圓上且異于S，T兩點，直線SE與TE的斜率之積為-4O為坐標(biāo)原點
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓以F₁（0，-

3

）和F₂（0，

3

）為焦點，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x軸，y軸的交點分別為A，B，且向量

OM

=

OA

+

OB

求：點M的軌跡方程及|OM|的最小值．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：

x2

4

+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設(shè)直線AP、BP的斜率分別為k₁，k₂求證：k₁•k₂為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)點P運動時，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？請證明你的結(jié)論．