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題目列表(包括答案和解析)
（10分）在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，
且PA=2AB
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求二面角B—PC—D的余弦值.
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一、選擇題：
DDCBA BBDDA
ycy
11．0 12．（±1，0） 13．1 14．②④ 15 706
三、解答題：
16．解： 2分
（Ⅰ） 4分
（Ⅱ）由
單調遞增區間為 8分
（Ⅲ）
由 12分
17．解：（Ⅰ） 6分
18．解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD
∵ABCD為正方形 ∴AC⊥BD
∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD內，
∴平面PAC⊥平面BPD 6分
（Ⅱ）解法一：在平面BCP內作BN⊥PC垂足為N，連DN，
∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；
∴∠BND為二面角B―PC―D的平面角，
在△BND中，BN=DN=，BD=
∴cos∠BND = 12分
解法二：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系如圖，在平面BCP內作BN⊥PC垂足為N連DN，
∴∠BND為二面角B―PC―D的平面角 8分
設
10分
12分
解法三：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間坐標系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易證AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，
∵二面角B―PC―D的平面角與∠MAN互補
∴二面角B―PC―D的余弦值為 12分
19．解：（Ⅰ）
4分
又∵當n = 1時，上式也成立， 6分
（Ⅱ） 8分
又
①
②
①－②得：
20．解：（Ⅰ）由知M是AB的中點，
設A、B兩點的坐標分別為
由
，
∴M點的坐標為 4分
又M點的直線l上：
7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為關于直線l：
上的對稱點為，
則有 10分
由已知
，∴所求的橢圓的方程為 12分
21．解：（Ⅰ）∵函數f(x)圖象關于原點對稱，∴對任意實數x有，
即 2分
（Ⅱ）當時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立 5分
假設圖象上存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直，則由
，知兩點處的切線斜率分別為：
此與（*）相矛盾，故假設不成立 9分
（Ⅲ）證明：，
在[－1，1]上是減函數，且
∴在[－1，1]上，時，
14分
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且PA=2AB
2分
4分
單調遞增區間為
8分
12分
6分
，BD=
12分
10分
12分
10分
12分
4分
6分
8分
①
②
12分
知M是AB的中點，
，
4分
7分
，不妨設橢圓的一個焦點坐標為
關于直線l：
上的對稱點為
，
10分
，∴所求的橢圓的方程為
12分
，
，
2分
4分
時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立 5分
，知兩點處的切線斜率分別為：
，
時，
14分