14．設函數內有定義.則下列函數【查看更多】

設函數f（x）對其定義域內的任意實數

，則稱函數f（x）為上凸函數．現有下列命題：
①f（x）=sinx，x∈[0，π]是上凸函數；
②f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
③二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
④f（x）是上凸函數，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且

；
其中，正確命題的序號是（寫出所有你認為正確命題的序號）．

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下列命題中正確命題的序號是

①②③⑤

．
①若A={x|x＞0}，B=R，則f：x→y=x²是A到B的映射；
②設函數f （x）對任意實數x、y都有f （x+y）=f （x）•f （y），且f （1）≠0，則f （0）=1；
③既是奇函數，又是偶函數的函數有無窮多個；
④f （x）是R上的偶函數，則f （x）•f （-x）＞0；
⑤存在常數M對函數y=f （x）的定義域內任意x都有f （x）≤M，則M是y=f （x）的最大值．

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下列命題中正確命題的序號是．
①若A={x|x＞0}，B=R，則f：x→y=x²是A到B的映射；
②設函數f （x）對任意實數x、y都有f （x+y）=f （x）•f （y），且f （1）≠0，則f （0）=1；
③既是奇函數，又是偶函數的函數有無窮多個；
④f （x）是R上的偶函數，則f （x）•f （-x）＞0；
⑤存在常數M對函數y=f （x）的定義域內任意x都有f （x）≤M，則M是y=f （x）的最大值．

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下列命題中正確命題的序號是________．
①若A={x|x＞0}，B=R，則f：x→y=x²是A到B的映射；
②設函數f （x）對任意實數x、y都有f （x+y）=f （x）•f （y），且f （1）≠0，則f （0）=1；
③既是奇函數，又是偶函數的函數有無窮多個；
④f （x）是R上的偶函數，則f （x）•f （-x）＞0；
⑤存在常數M對函數y=f （x）的定義域內任意x都有f （x）≤M，則M是y=f （x）的最大值．

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給出下列幾個命題：
①若函數f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數；
②若函數f（x）是定義域為R的奇函數，對于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③已知x₁，x₂是函數f（x）定義域內的兩個值，當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂），則f（x）是減函數；
④設函數y=

1-x

+

x+3

的最大值和最小值分別為M和m，則M=

2

m；
⑤若f（x）是定義域為R的奇函數，且f（x+2）也為奇函數，則f（x）是以4為周期的周期函數．
其中正確的命題序號是

①④⑤

．（寫出所有正確命題的序號）

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一、選擇題：

DDCBA BBDDA

ycy

11．0 12．（±1，0） 13．1 14．②④ 15 706

三、解答題：

16．解： 2分

（Ⅰ） 4分

（Ⅱ）由

單調遞增區間為 8分

（Ⅲ）

由 12分

17．解：（Ⅰ） 6分

18．解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD

∵ABCD為正方形 ∴AC⊥BD

∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD內，

∴平面PAC⊥平面BPD 6分

（Ⅱ）解法一：在平面BCP內作BN⊥PC垂足為N，連DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND為二面角B―PC―D的平面角，

在△BND中，BN=DN=，BD=

∴cos∠BND = 12分

解法二：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系如圖，在平面BCP內作BN⊥PC垂足為N連DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND為二面角B―PC―D的平面角 8分

設

10分

12分

解法三：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間坐標系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易證AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，

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10分

∵二面角B―PC―D的平面角與∠MAN互補

∴二面角B―PC―D的余弦值為 12分

19．解：（Ⅰ）

4分

又∵當n = 1時，上式也成立， 6分

（Ⅱ） 8分

又

①

②

①－②得：

12分

20．解：（Ⅰ）由知M是AB的中點，

設A、B兩點的坐標分別為

由

，

∴M點的坐標為 4分

又M點的直線l上：

7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為關于直線l：

上的對稱點為，

則有 10分

由已知

，∴所求的橢圓的方程為 12分

21．解：（Ⅰ）∵函數f(x)圖象關于原點對稱，∴對任意實數x有，

，

即 2分

4分

（Ⅱ）當時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立 5分

假設圖象上存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直，則由

，知兩點處的切線斜率分別為：

此與（*）相矛盾，故假設不成立 9分

（Ⅲ）證明：，

在[－1，1]上是減函數，且

∴在[－1，1]上，時，

14分

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