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已知橢圓的兩個焦點、，直線是它的一條準線，、分別是橢圓的上、下兩個頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設以原點為頂點，為焦點的拋物線為，若過點的直線與相交于不同、的兩點、，求線段的中點的軌跡方程．

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一．選擇題：DABDA CDCBC

解析：1:由條件“函數是奇函數”可排除(B)、(C), 又在區間上不是單調遞減, 可淘汰(A)，所以選(D).

2：取滿足題設的特殊數值 a=,，

0>,檢驗不等式(B),(C),(D)均不成立,選 (A).

3：由已知得

4：把x=1代入不等式組驗算得x=1是不等式組的解，則排除(B)、(C), 再把x=-3代入不等式組驗算得x=-3是不等式組的解，則排除(B)，所以選(D).

5：本題學生很容易去分母得，然后解方程，不易實現目標。

事實上，只要利用數形結合的思想，分別畫出的圖象，容易發現在第一象限沒有交點。故選A。

6：當m=0時，顯然有；若時，由，得，方程無解，m不存在。故選C。

7：由已知不妨設長寬高，則對角線的長為.故選

8：由得sin（x－）＞0，即2 kπ＜x－＜2kπ＋π，取k＝0即知選C.

9：用特值法：當n＝2時，代入得C＋C＝2,排除答案A、C；當n＝4時，代入得C＋C＋C＝8,排除答案D。所以選B。

10：考慮由P₀射到BC的中點上，這樣依次反射最終回到P₀，此時容易求出tan=，由題設條件知，1＜x₄＜2，則tan≠，排除A、B、D，故選C.

二．填空題：11、1；12、-1；13、23； 14、；15、；

解析：

11：　將已知方程變形為　　，

解這個一元二次方程，得

    顯然有,　而,于是

    原式＝ ＝＝

12：　由條件得，其中.

是已知函數的對稱軸，

，   即　　，

于是　　故應填 .

13：因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB₁A₁、面ADD₁A₁上的射影.

四邊形BFD₁E在面ABCD和面ABB₁A₁上的射影相同，如圖2所示；

四邊形BFD₁E在該正方體對角面的ABC₁D₁內，它在面ADD₁A₁上的射影顯然是一條線段，如圖3所示.  故應填23.

14.（略）

15.解：由條件不難得為等腰直角三角形，設圓的半徑為1，則，，

，   sin∠ACO=）=

三．解答題：

16.解：（1）將，代入函數得，因為，所以．                             ------------------2分

又因為，，，所以，

 因此．               ------------------5分

（2）因為點，是的中點，， 所以點的坐標為．      ------------------7分

又因為點在的圖象上，

所以．------------------9分

因為，所以，

從而得或．即或 ------------------12分

17.解：（Ⅰ）設“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B

由題意得  ， 解得或（舍去），

所以乙投球的命中率為                  ------------------3分

（Ⅱ）由題設和（Ⅰ）知-------------4分

可能的取值為0，1，2，3，故

 ， 

的分布列為

0

1

2

3

的數學期望  ------------------12分

18.解：(1)∵-------------------------------------------------1分

當時，

∴函數在上為增函數-----------------------------------------3分

∴，--------------------------4分

（２）證明：令

則

∵當時，∴函數在區間上為減函數

∴

即在上，

∴在區間上，函數的圖象在函數的圖象的下方-----8分

（3）證明：∵

當時，不等式顯然成立

當時

∵＝-----①

-------------②-----10分

①+②得

≥（當且僅當時“＝”成立）---------------13分

∴當時，不等式成立

綜上所述得≥ .--------------------------14分

19.解：（Ⅰ）設的坐標為，則且．

解得，  因此，點 的坐標為．

（Ⅱ），根據橢圓定義，

得，

，．    ∴所求橢圓方程為．

（Ⅲ），橢圓的準線方程為．

設點的坐標為,表示點到的距離，表示點到橢圓的右準線的距離．

則，．

， 令，則，

當，， ，．

 ∴ 在時取得最小值．

因此，最小值＝，此時點的坐標為-----------------14分

20.解：（Ⅰ）取中點，連結．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面， 平面．

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，    ，

，，．

，，

，．

平面．--------------------6分

（Ⅱ）設平面的法向量為．

，．  ，，

令得為平面的一個法向量．--------------------9分

由（Ⅰ）知平面， 為平面的法向量．

，．

二面角的大小為．   --------------------11分

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離為．設點到平面的距離為．

由得， ．

點到平面的距離為--------------------14分

21.解（１）∵不等式≤0的解集有且只有一個元素

∴　解得或 --------------------2分

當時函數在遞增，不滿足條件②--------------------3分

當時函數在（０，２）上遞減，滿足條件②--------------------4分

綜上得，即   --------------------5分

（２）由（１）知,    當時，

當≥２時＝＝  --------------------7分

∴    --------------------8分

（３）由題設可得--------------------9分

∵，，

∴，都滿足     --------------------11分

∵當≥３時，

即當≥３時，數列｛｝遞增，

∵，由，可知滿足----------------13分

∴數列｛｝的變號數為３.         ------------------14分