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（本小題滿分12分）已知等比數列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；

   （Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，證明:；

   （Ⅲ）設，證明：對任意的正整數n、m，均有

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（本小題滿分12分）已知函數，其中a為常數.

   （Ⅰ）若當恒成立，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）求的單調區間.

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一．選擇題：DBBCB BCCCC

解析：1：因為=(2 -││)+ ,由選擇支知││<2,所以的實部為正數,虛部為1,根據這個隱含條件,(A),(B),(C)均可篩去,所以選(D).

2：先將周期最小的選項（A）的周期T=代入檢驗，不成立則排除(A)；再檢驗（B）成立. 所以選(B).

3：∵∴可取代入四個選項驗證，發現B錯誤，∴應選(B).

4：“的展開式中各項系數之和為128” Þ 2ⁿ =128 Þ n=7；

     由通項公式T_r+1==，

   令7－=－3，解得r=6，此時T₇= ，故選C

5:作兩直線的圖象,從圖中可以看出:

直線的傾斜角的取值范圍應選(B).

6：取特殊數列=，排除(A)、(C)、(D). ∴選(B).

7：如圖所示,

作

∴柱體體積

    故選C.

8:由圖象可知,x=1時=1. 由此可排除(A)、(D)；再由周期T=8，可排除(B).

∴應選(C).

9：利用橢圓的定義可得故離心率故選C。

10：設某人當月工資為1200元或1500元，則其應納稅款分別為：4005%=20元，5005%+20010%=45元，可排除、、.故選.

二．填空題：11、2； 12、a>0且；13、；14、；15、7；

解析：11：因為包含了任意一個元素的三元素集合共個，所以在中，每個元素都出現了次，所以

，所以

。

12：由已知可畫出下圖，符合題設，故a>0且。

13：設P(x，y)，則當時，點P的軌跡為，由此可得點P的橫坐標。

又當P在x軸上時，，點P在y軸上時，為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是：；

 14．解：在平面直角坐標系中，曲線和分別表示圓和直線，易知＝

15．解： 由圓的性質PA=PC?PB，得，PB=12，連接OA并反向延長

交圓于點E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,

DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB

因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7

三．解答題：

16.解：（Ⅰ）∵   ∴----①,----② 

由①得------③

在△ABC中,由正弦定理得=,設＝

則,代入③得

∵    ∴  ∴,∵  ∴ ……………………6分

(Ⅱ) ∵,由余弦定理得,--④

 由②得-⑤  由④⑤得，∴=.  ……………………………12分

17.解：設該觀眾先答A題所獲獎金為元，先答B題所獲獎金為元，………………………1分

依題意可得可能取的值為：0, ，3， 的可能取值為：0，2，3

………………………2分

∵ ， ， ，

∴ ，                       ………………………6分

∵ ，，   

∴                       ………………………10分

∵∴，即 

 ∴該觀眾應先回答B題所獲獎金的期望較大．        ……………………………12分

18.解：（Ⅰ）設,由得，解得或，若則與矛盾，所以不合舍去。

即。---------------------------------------------------------------------------6

（Ⅱ）圓即，其圓心為C（3，－1），半徑，

∴直線OB的方程為，-----------------------------------------------------------------10

設圓心C（3，－1）關于直線的對稱點的坐標為（a，b），則

解得：，則所求的圓的方程為。-----------------------------14

19.(Ⅰ)證明：∵對任意的   ①

令得      ②…………1分

令得……………………2分

∴ 由②得

∴函數為奇函數………………………………3分

(Ⅱ)證明:（1）當n＝1時等式顯然成立

（2）假設當n＝k（k）時等式成立，即，…………4分

則當n＝k＋1時有

，由①得………………6分

∵  ∴

∴當n＝k＋1時，等式成立。

綜（1）、（2）知對任意的,成立。………………8分

(Ⅲ)解:設，因函數為奇函數，結合①得

＝，……………………9分

∵

又∵當時，

∴，∴

∴函數在R上單調遞減…………………………………………12分

∴ 

由（2）的結論得，

∵，∴＝－2n

∵函數為奇函數，∴

∴  ，＝2n。……………………14分

20.解：(1)如圖，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點B運動到點B₂的位置，連接A₁B₂，則A₁B₂就是由點B沿棱柱側面經過棱CC₁到點A₁的最短路線。                                            ……………………………………1分

設棱柱的棱長為，則B₂C=AC=AA₁＝,

∵CD∥AA₁∴D為CC₁的中點，……………………………2分

在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得，

即　解得，……………………4分

∵∴  ……………………………………6分

(2)設A₁B與AB₁的交點為O,連結BB₂,OD，則……………………………7分

∵平面，平面  ∴平面，

即在平面A₁BD內存在過點D的直線與平面ABC平行   ……………………………9分

 (3)連結AD,B₁D ∵≌≌

∴   ∴……………………………11分

  　∵     ∴平面A₁ABB₁      ……………………………13分

又∵平面A₁BD    ∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁  ……………………………………14分

21.解：（Ⅰ）…………………………………………1分

由得， ………………………………………………2分

又得  ……………………………………………………3分

（Ⅱ）k＝，

對任意的，即對任意的恒成立……4分

等價于對任意的恒成立。…………………………5分

令g(x)＝，h(x)＝，

則， …………………………………………6分

，當且僅當時“＝”成立，…………7分

h(x)＝在（0，1）上為增函數，h(x)_max＜2……………………………8分

         ……………………………………………………………………9分

（Ⅲ）設則＝……10分

即，對恒成立…………………………11分

，對恒成立

即對恒成立…………………………13分

解得……………………………………………………14分