題目列表(包括答案和解析)
在一批棉花中抽測了60根棉花的纖維長度，結果如下(單位：mm)：
82 202 352 321 25 293 293 86 28 206
323 355 357 33 325 113 233 294 50 296
115 236 357 326 52 301 140 328 238 358
58 255 143 360 340 302 370 343 260 303
59 146 60 263 170 305 380 346 61 305
175 348 264 383 62 306 195 350 265 385
(1)列出樣本的頻率分布表，畫出頻率分布直方圖；
(2)計算樣本的平均數和標準差；
(3)由樣本數據估計總體中有多少數據落入區間(
－2s，＋2s)．
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
D
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分
9．
10. 60
11.
12.
13. 2 14. -2；1
三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。
15. （本小題共13分）
已知函數
（Ⅰ）求函數
的定義域；
（Ⅱ）求函數在區間
上的最值。
解：（Ⅰ）由題意 
所求定義域為 {
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以當
時，取得最大值為
；
…………11分
當
時，取得最小值為0 。
…………13分
16. （本小題共13分）
已知數列
中，
，點（1，0）在函數
的圖像上。
（Ⅰ）求數列
的通項；
（Ⅱ）設
，求數列
的前n項和
。
解：(Ⅰ)由已知 
又
…………3分
所以 數列是公比為
的等比數列 所以 
…………6分
（Ⅱ） 由 
…………9分
所以
…………13分
17. （本小題共14分）
如圖，在正三棱柱
中，
,
是
的中點，點
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
(Ⅲ) 證明
.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
又 是正△ABC邊的中點，
…………3分
∠
為所成角
又 
sin∠=
…………5分
所以所成角為
（
）
（Ⅱ） 由已知得 
∠
為二面角的平面角， 所以 
…………9分
(Ⅲ)證明: 依題意 得 
，
，
因為 
…………11分
又由（Ⅰ）中 知
，且
，
…………14分
18. （本小題共13分）
某校高二年級開設《幾何證明選講》及《數學史》兩個模塊的選修科目。每名學生至多選修一個模塊，
的學生選修過《幾何證明選講》，
的學生選修過《數學史》，假設各人的選擇相互之間沒有影響。
(Ⅰ)任選1名學生，求該生沒有選修過任何一個模塊的概率；
(Ⅱ)任選4名學生，求至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率。
解：(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，
參加過《數學史》的選修為事件B， 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為P，
則
所以 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為
…………6分
(Ⅱ)至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為
所以至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為
…………13分
19. （本小題共13分）
已知函數
的圖像如圖所示。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若函數在
處的切線方程為
，求函數的
解析式；
（Ⅲ）若
=5，方程
有三個不同的根，求實數
的取值范圍。
解： 函數的導函數為 
(Ⅰ)由圖可知
函數的圖像過點（0，3），且
得 
…………3分
(Ⅱ)依題意
且
解得 
所以
…………8分
（Ⅲ）依題意 
由 
①
若方程有三個不同的根，當且僅當 滿足 
②
由 ① ② 得 
所以 當 
時 ，方程有三個不同的根。 …………13分
20. （本小題共14分）
已知
分別為橢圓
的左、右焦點，直線
過點
且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于直線，垂足為
，線段
的垂直平分線交
于點M。
(Ⅰ)求動點M的軌跡
的方程；
(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝
，若∈[2，3]，求
的取值范圍。
解：(Ⅰ)設M
，則
，由中垂線的性質知
|
|=
化簡得的方程為
…………3分
（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以
為焦點，以為準線的拋物線
所以 
，
則動點M的軌跡的方程為）
(Ⅱ)設
，由＝ 知 
①
又由 在曲線上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
設
，∈[2，3]，
有
在區間
上是增函數，
得 
進而有 
所以 的取值范圍是
…………14分
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