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下述數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，記為S．其特點是每行每列都是等差數(shù)列，第i行第j列的數(shù)記為A_ij．
（1）設(shè)S中主對角線上的數(shù)1，8，17，28，41，…組成數(shù)列{b_n}．試證不存在正整數(shù)k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列；
（2）對于（1）中的數(shù)列{b_n}，是否存在正整數(shù)p和r （1＜r＜p＜150），使得b₁，b_r，b_p成等差數(shù)列．若存在，寫出p，r的一組解（不必寫出推理過程）；若不存在，請說明理由．

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下述數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，記為S．其特點是每行每列都是等差數(shù)列，第i行第j列的數(shù)記為A_ij．
（1）設(shè)S中主對角線上的數(shù)1，8，17，28，41，…組成數(shù)列{b_n}．試證不存在正整數(shù)k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列；
（2）對于（1）中的數(shù)列{b_n}，是否存在正整數(shù)p和r （1＜r＜p＜150），使得b₁，b_r，b_p成等差數(shù)列．若存在，寫出p，r的一組解（不必寫出推理過程）；若不存在，請說明理由．

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．

1．        2．        3．0        4．充分而不必要        5．        6．2

7． 8．5         9．      10．1.5                11．

13．14．

二、解答題：本大題共6小題，共計90分．

15．（本小題滿分14分）

（1）== ……………………………………2分

== ……………………………………………………………………………………………4分

 ……………………………………………………………………………6分         

（2）==

==…………………………………………………………………………9分

由，得………………………………………………………………………10分

 ……………………………………………………………………12分

當(dāng), 即時, …………………………………………………………14分

16．（本小題滿分14分）

（1）在梯形中，，

四邊形是等腰梯形，

且

…………………3分

又平面平面，交線為，

平面…………………………………………………6分

（2）當(dāng)時，平面，………………………7分

在梯形中，設(shè)，連接，則…………………………………8分

，而，……………………………………………10分

，四邊形是平行四邊形，…………………………………………12分

又平面，平面平面…………………………………………14分

18．（本小題滿分16分）

（1）設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0)，

則其右準(zhǔn)線方程為x＝，且F₁(－c, 0),　F₂(c, 0).　……………2分

設(shè)M，

則＝

.      ………………………4分

因為，所以，即.

    于是，故∠MON為銳角.

所以原點O在圓C外.                            ………………………7分

（2）因為橢圓的離心率為，所以a=2c，             …………………8分

    于是M ，且    …………………9分

MN²＝(y₁－y₂)²＝y(tǒng)₁²+y₂²－2y₁y₂.  ………… 12分

當(dāng)且僅當(dāng) y₁＝－y₂＝或y₂＝－y₁＝時取“=”號，   ……………… 14分

所以(MN)_min= 2c＝2，于是c=1, 從而a＝2，b＝，

故所求的橢圓方程是.            ………………… 16分

19．（本小題滿分16分）

（1）函數(shù)的定義域為.…………………………………1分

由得;…………………………………………………………………………………………2分                    

由得,……………………………………………………………………………………3分

則增區(qū)間為,減區(qū)間為. ………………………………………………………………………4分

（2）令得,由(1)知在上遞減,在上遞增, …………6分

由,且,………………………………………………8分

時, 的最大值為,故時,不等式恒成立. …………10分

（3）方程即.記,則

.由得;由得.

所以在上遞減;在上遞增.

而,……………………………………12分

所以,當(dāng)時,方程無解;

當(dāng)時，方程有一個解;

當(dāng)時,方程有兩個解;

當(dāng)時,方程有一個解;

當(dāng)時,方程無解. ………………………………………………………………………………14分

綜上所述,時,方程無解;

或時,方程有唯一解;

時,方程有兩個不等的解. ……………………………………………16分

20．（本小題滿分16分）

（1）因為第一行數(shù)組成的數(shù)列{A_1j}(j=1,2，…)是以1為首項，公差為3的等差數(shù)列，

所以A_{1 j}＝1+(j－1)×3＝3 j－2，

第二行數(shù)組成的數(shù)列{A_2j}(j＝1,2，…)是以4為首項，公差為4的等差數(shù)列，

所以A_{2 j}＝4+(j－1)×4＝4 j．              ……………………2分

所以A_{2 j}－A_{1 j}＝4 j－(3 j－2)＝j(luò)＋2，

所以第j列數(shù)組成的數(shù)列{ A_ij}(i＝1,2，…)是以3 j－2為首項，公差為 j＋2的等差數(shù)列，

所以A_ij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4＝(i＋3) (j＋2) 8．   …………5分

故A_ij＋8=(i＋3) (j＋2)是合數(shù)．

所以當(dāng)＝8時，對任意正整數(shù)i、j，總是合數(shù)   …………………6分

（2） (反證法)假設(shè)存在k、m，，使得成等比數(shù)列，

即                              ………………………7分

∵b_n＝A_nn ＝(n+2)²－4

∴

得，

即，   …………………10分

又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，

∴，這與∈Z矛盾，所以不存在正整數(shù)k和m，使得成等比數(shù)列．……………………12分

（3）假設(shè)存在滿足條件的，那么

即.                         …………………… 14分

不妨令 得

所以存在使得成等差數(shù)列．         …………………… 16分

（注：第（3）問中數(shù)組不唯一，例如也可以）