題目列表(包括答案和解析)
已知曲線
上動點
到定點
與定直線
的距離之比為常數(shù)
．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）若過點
引曲線C的弦AB恰好被點
平分，求弦AB所在的直線方程；
（3）以曲線的左頂點
為圓心作圓：
，設(shè)圓與曲線交于點
與點
，求
的最小值，并求此時圓的方程.
【解析】第一問利用（1）過點
作直線
的垂線，垂足為D.
代入坐標(biāo)得到
第二問當(dāng)斜率k不存在時，檢驗得不符合要求；
當(dāng)直線l的斜率為k時，
；，化簡得
第三問點N與點M關(guān)于X軸對稱，設(shè)
，， 不妨設(shè)
．
由于點M在橢圓C上，所以
．
由已知
，則
，
由于
，故當(dāng)
時，
取得最小值為
．
計算得，
，故
，又點
在圓
上，代入圓的方程得到
．
故圓T的方程為：
已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1
（1） 求曲線C的方程.
（2） 是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有
?若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由.
【解析】(1)由題意知曲線C上的點到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等.
可確定其軌跡是拋物線，即可求出其方程為y2=4x.
(2)設(shè)過點M的直線方程為x=ty+m,然后與拋物線方程聯(lián)立，消去x,利用韋達(dá)定理表示出
,再證明其小于零即可.
在平面直角坐標(biāo)系
中,曲線
的參數(shù)方程為
點
是曲線上的動點.
（1）求線段
的中點
的軌跡的直角坐標(biāo)方程；
（2） 以坐標(biāo)原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線
的極坐標(biāo)方程為
，求點到直線距離的最大值.
【解析】第一問利用設(shè)曲線上動點
，由中點坐標(biāo)公式可得
所以點的軌跡的參數(shù)方程為
消參可得
第二問，由題可知直線的直角坐標(biāo)方程為
，因為原點到直線的距離為
，
所以點到直線的最大距離為
已知點
（
）,過點
作拋物線
的切線，切點分別為
、
（其中
）．
（Ⅰ）若
，求
與
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若以點為圓心的圓
與直線
相切，求圓的方程；
（Ⅲ）若直線的方程是
，且以點為圓心的圓與直線相切，
求圓面積的最小值．
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運用。直線與圓的位置關(guān)系的運用。
中∵直線
與曲線
相切，且過點
，∴
，利用求根公式得到結(jié)論先求直線
的方程，再利用點P到直線的距離為半徑，從而得到圓的方程。
（3）∵直線的方程是，，且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑，即
，借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值
（Ⅰ）由
可得，
． ------1分
∵直線與曲線相切，且過點，∴，即
，
∴
，或
， --------------------3分
同理可得：
，或
----------------4分
∵，∴
，． -----------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
，則的斜率
，
∴直線的方程為：
，又
，
∴
，即
． -----------------7分
∵點到直線的距離即為圓的半徑，即
，--------------8分
故圓的面積為
． --------------------9分
（Ⅲ）∵直線的方程是，，且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑，即， ………10分
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
，
時取等號．
故圓面積的最小值．
設(shè)拋物線
：
（
＞0）的焦點為
，準(zhǔn)線為
，
為上一點，已知以為圓心，
為半徑的圓交于
,
兩點.
(Ⅰ)若
,
的面積為
，求的值及圓的方程；
(Ⅱ)若，，三點在同一條直線
上，直線
與平行，且與只有一個公共點，求坐標(biāo)原點到，距離的比值.
【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.
【解析】設(shè)準(zhǔn)線于
軸的焦點為E，圓F的半徑為
，
則|FE|=，
=，E是BD的中點，
(Ⅰ) ∵，∴=
，|BD|=
，
設(shè)A(
，
)，根據(jù)拋物線定義得，|FA|=
，
∵的面積為，∴
=
=
=，解得=2，
∴F(0,1), FA|=
， ∴圓F的方程為：
；
(Ⅱ) 解析1∵，，三點在同一條直線上, ∴
是圓的直徑，
,
由拋物線定義知
，∴
，∴的斜率為
或－，
∴直線的方程為：
，∴原點到直線的距離
=
，
設(shè)直線的方程為：
，代入得，
，
∵與只有一個公共點，
∴
=
，∴
，
∴直線的方程為：
，∴原點到直線的距離
=
，
∴坐標(biāo)原點到，距離的比值為3.
解析2由對稱性設(shè)
，則
點
關(guān)于點對稱得：
得：
，直線
切點
直線
坐標(biāo)原點到
距離的比值為
一、選擇題（每小題5分，共60分）
1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空題（每小題4分，共16分）
13．
14．3825 15．1 16．0ⅠⅡ
三、解答題
17．解：（Ⅰ）在
中，由
及余弦定理得
而
，則
；
（Ⅱ）由
及正弦定理得
，
而
，則
于是
，
由
得
，當(dāng)
即
時，
。
18解：（Ⅰ）基本事件
共有36個，方程有正根等價于
，即
。設(shè)“方程有兩個正根”為事件
，則事件包含的基本事件為
共4個，故所求的概率為
；
（Ⅱ）試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域
，其面積為
設(shè)“方程無實根”為事件
，則構(gòu)成事件的區(qū)域為
，其面積為
故所求的概率為
19．解：（Ⅰ）證明：由
平面
及
得
平面，則
而
平面
，則
，又
，則
平面
，
又
平面，故
。
（Ⅱ）在
中，過點
作
于點
，則
平面
．
由已知及（Ⅰ）得
．
故
(Ⅲ)在中過點
作
交
于點
，在
中過點作
交
于點
，連接
，則由
得
由平面
平面
，則
平面
再由
得
平面，又
平面
，則
平面．
故當(dāng)點為線段
上靠近點
的一個三等分點時，平面．
20．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列
的公差為
，
則
，
（Ⅱ）由
得
，故數(shù)列
適合條件①
而
，則當(dāng)
或
時，
有最大值20
即
，故數(shù)列適合條件②．
綜上，故數(shù)列是“特界”數(shù)列。
21．
證明：
消去
得
設(shè)點
，則
，
由
，
，即
化簡得
，則
即
，故
（Ⅱ）解：由
化簡得
由
得
，即
故橢圓的長軸長的取值范圍是
。
22．解：（Ⅰ）
，由
在區(qū)間
上是增函數(shù)
則當(dāng)
時，恒有
，
即
在區(qū)間上恒成立。
由
且
，解得
．
（Ⅱ）依題意得
則
，解得
而
故在區(qū)間
上的最大值是
。
（Ⅲ）若函數(shù)
的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個不同的交點，
即方程
恰有3個不等的實數(shù)根。
而
是方程的一個實數(shù)根，則
方程
有兩個非零實數(shù)根，
則
即
且
．
故滿足條件的
存在，其取值范圍是
．
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