題目列表(包括答案和解析)
，若過定點
、以
（λ∈R）為法向量的直線l1與過點
以
為法向量的直線l2相交于動點P．
恒為定值；
上的兩個動點，且
，試問當|MN|取最小值時，向量
與
是否平行，并說明理由．| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
．
，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率kAB；設F1、F2分別為橢圓C：
＝1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點．
(1)若橢圓C上的點A(1，
)到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
(2)設點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F1K的中點的軌跡方程；
(3)已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值，試寫出雙曲線
＝1具有類似特性的性質并加以證明．
設F1、F2分別為橢圓C：
＝1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點．
(1)若橢圓C上的點A(1，
)到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
(2)設點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F1K的中點的軌跡方程；
(3)已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值，試寫出雙曲線
＝1具有類似特性的性質并加以證明．
一、選擇題：
CADDB ADBBA CD
二、填空題
（13）
; （14）8; （15）
; （16）
.
三、解答題
（17）解：將圓C的方程
配方得標準方程為
，
則此圓的圓心為（0 , 4），半徑為2.
(Ⅰ) 若直線
與圓C相切，則有
. 解得
. ………………6分
(Ⅱ) 解：過圓心C作CD⊥AB，則根據題意和圓的性質，得
解得
.
∴直線的方程是
和
. ………………12分
（18）解:(Ⅰ)由題意知此平面區域表示的是以
構成的三角形及其內部,且△
是直角三角形, 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是
,
所以圓
的方程是
. ………………6分
(Ⅱ)設直線的方程是:
.
因為
,所以圓心到直線的距離是
, 即
.
解得:
. ………………………………11分
所以直線的方程是
. ………………12分
（19）解：設過點T(3,0)的直線
交拋物線
于點A
、B
.
（Ⅰ）當直線的鈄率不存在時,直線的方程為
,
此時, 直線與拋物線相交于點A(3,
)（）.B(3,－)，∴
=3. …….............4分
（Ⅱ）當直線的鈄率存在時,設直線的方程為
，
其中
，由
得 
.
…………………….….6分
又 ∵ 
， ∴
，
………………………………….10分
綜上所述，命題“若直線過點T(3,0)，則=3” 是真命題. ………………….12分
（20）解：（Ⅰ）由
知
是
的中點，
設A、B兩點的坐標分別為
由
.
，
∴點的坐標為
.
…………………………4分
又點在直線上， 
.
， 
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，不妨設橢圓的一個焦點坐標為
，
設關于直線
上的對稱點為
，
則有
. ………………10分
由已知
.
，∴所求的橢圓的方程為
. ………………12分
（21）解：（Ⅰ）
，即
；
，即
.
. ……………………………………………4分
（Ⅱ）設直線
的方程為
，
直線與雙曲線交于
，不妨設
且
，
直線
與雙曲線交于
.
由
得
.
令
得
，此式恒成立.
，
. ………………6分
而
=
.
∴直線與雙曲線交于兩支上的兩點；
同理直線與雙曲線交于兩支上的兩點，
則
……………………8分
=
=
. ……………………10分
令
則
在（1，2）遞增.
又
，
.
………………………………………12分
（22）解：（Ⅰ）直線
的法向量
， 的方程：
，
即為
. ………………………2分
直線
的法向量
，的方程為
，
即為
.
………………………4分
（Ⅱ）
. ………………………6分
設點
的坐標為
，由
，得
.…………8分
由橢圓的定義的知，存在兩個定點
使得
恒為定值4，此時兩個定點為橢圓的兩個焦點. ………………………10分
（Ⅲ）設
，
，則
，
，
由
，得
. ………………………12分
；
當且僅當
或
時，
取最小值
.
，故
與
平行.
………………………14分
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