設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.

（1）求函數的解析式和值域；

（2）證明：當時，數列在該區間上是遞增數列；

（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.
（1）求函數的解析式和值域；
（2）證明：當時，數列在該區間上是遞增數列；
（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有
 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

已知函數f（x）=x⁴+ax³+bx²+c，其圖象在y軸上的截距為-5，在區間[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，又當x=0，x=2時取得極小值．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）能否找到垂直于x軸的直線，使函數f（x）的圖象關于此直線對稱，并證明你的結論；
*（Ⅲ）設使關于x的方程f（x）=λ²x²-5恰有三個不同實根的實數λ的取值范圍為集合A，且兩個非零實根為x₁、x₂．試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|對任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．