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假設是中的最小數.則取.可得:.與假設中“是中的最小數 矛盾! 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().

(1) 當時,試寫出拋物線上的三個定點的坐標,從而使得

(2)當時,若

求證:

(3) 當時,某同學對(2)的逆命題,即:

“若,則.”

開展了研究并發現其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

② 對任意給定的大于3的正整數,試構造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設

分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時,拋物線的焦點為

分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,不妨取

解:(1)拋物線的焦點為,設

分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為,所以

故可取滿足條件.

(2)設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

所以.

(3) ①取時,拋物線的焦點為

分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,不妨取

.

是一個當時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設,分別過

拋物線的準線的垂線,垂足分別為

及拋物線的定義得

,即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關,所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標都大于零,則

,所以.

(說明:本質上只需構造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)

③ 補充條件1:“點的縱坐標)滿足 ”,即:

“當時,若,且點的縱坐標)滿足,則”.此命題為真.事實上,設

分別過作拋物線準線的垂線,垂足分別為,由

及拋物線的定義得,即,則

又由,所以,故命題為真.

補充條件2:“點與點為偶數,關于軸對稱”,即:

“當時,若,且點與點為偶數,關于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

 

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在解決問題:“證明數集沒有最小數”時,可用反證法證明.

假設中的最小數,則取,可得:,與假設中“中的最小數”矛盾! 那么對于問題:“證明數集沒有最大數”,也可以用反證法證明.我們可以假設中的最大數,則可以找到   ▲   (用表示),由此可知,這與假設矛盾!所以數集沒有最大數.

 

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在解決問題:“證明數集沒有最小數”時,可用反證法證明.
假設中的最小數,則取,可得:,與假設中“中的最小數”矛盾!那么對于問題:“證明數集沒有最大數”,也可以用反證法證明.我們可以假設中的最大數,則可以找到   ▲  (用表示),由此可知,這與假設矛盾!所以數集沒有最大數.

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在解決問題:“證明數集沒有最小數”時,可用反證法證明.
假設中的最小數,則取,可得:,與假設中“中的最小數”矛盾!那么對于問題:“證明數集沒有最大數”,也可以用反證法證明.我們可以假設中的最大數,則可以找到   ▲  (用表示),由此可知,這與假設矛盾!所以數集沒有最大數.

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在解決問題:“證明數集A={x|2<x≤3}沒有最小數”時,可用反證法證明.假設a(2<a≤3)是A中的最小數,則取a′=
a+2
2
,可得:2=
2+2
2
<a′=
a+2
2
a+a
2
=a≤3
,與假設中“a是A中的最小數”矛盾!那么對于問題:“證明數集B={x|x=
n
m
,m,n∈N*,并且n<m}
沒有最大數”,也可以用反證法證明.我們可以假設x=
n0
m0
是B中的最大數,則可以找到x'=______(用m0,n0表示),由此可知x'∈B,x'>x,這與假設矛盾!所以數集B沒有最大數.

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