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如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側面AC₁．

（1）求證：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角（銳角）的度數．
注意：在下面橫線上填寫適當內容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）．

（1）證明：在截面A₁EC內，過E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵
∴EG⊥側面AC₁；取AC的中點F，連接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵
∴BF⊥側面AC₁；得BF∥EG，BF、EG確定一個平面，交側面AC₁于FG．
③∵
∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，
④∵
∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵
∴FG=

1

2

AA1=

1

2

BB1，即BE=

1

2

BB1，故BE=EB1．

如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，AB=AC，BC=2，CD=1，并且側面ABC⊥底面BCDE．
（1）取CD的中點為F，AE的中點為G，證明：FG∥面ABC；
（2）試在線段BC上確定點M，使得AE⊥DM，并加以證明．

（12分）

學校欲在操場邊上一直角三角形空地ABC上種植草坪，并需鋪設一根水管EF（E在AC上，F在AB上）用于灌溉，已知∠A=30°，∠C=90°，BC=2a，D是BC中點，為確保灌溉的效果，鋪設時要求∠EDF=60°�，F有兩種方案可供參考。甲方案：取AC的中點E鋪設水管；乙方案：取AB的中點F鋪設水管。

（1）比較甲乙兩種方案，哪一種方案更合理（EF的長較小的合理）；

（2）學校研究小組通過研究得出：無論D在BC的什么位置，總存在E，F兩點，使△DEF為正三角形。試證明該結論的正確性。

 

 

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側面AC₁．

（1）求證：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角（銳角）的度數．
注意：在下面橫線上填寫適當內容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）．

（1）證明：在截面A₁EC內，過E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵______
∴EG⊥側面AC₁；取AC的中點F，連接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵______
∴BF⊥側面AC₁；得BF∥EG，BF、EG確定一個平面，交側面AC₁于FG．
③∵______
∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，
④∵______
∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵______
∴，即．