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如圖，矩形ABCD與矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角為a，記兩個矩形對角線的交點分別為Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求證：QQ′∥平面ABB′；
（2）當b=

2

a，且a=

π

3

時，求異面直線AC與DB′所成的角；
（3）當a＞b，且AC⊥DB'時，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

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一、選擇題(每小題5分，共50分)

1．B   2．C   3．A   4．D   5．C   6．D  7．B  8．C  9．A  10．D

二、填空題(每小題4分，共24分)

    l 1．192   12．286     13．   14．   15．840     l6．4；

三、解答題(本大題共6小題，共76分)

17．(本題12分)

解：（Ⅰ）

                         ………………………………（2分）

   …………（4分）

                                             …………………………………(6分)

       (Ⅱ)

               ．                     ……………(8分)

              由已知條件

              根據正弦定理，得               …………………（10分）

                   ……………………（12分）

18．(本題12分)

解：(Ⅰ)在7人中選出3人，總的結果數是種           ………………(2分)

記“被選中的3人中至多有1名女生”為事件A，則A包含兩種情形：

              ①被選中的是1名女生，2名男生的結果數是種，

               ②被選中的是3名男生的結果數是種，           ………………(4分)

至多選中1名女生的概率為．  ……………(6分)

(Ⅱ)由題意知隨機變量可能的取值為：0，1，2，3，則有

      ……………………（8分）

的分布列

0

1

2

3

P

……………（10分）

的數學期望        … ……(12分)

19.(本題12分)

解：(Ⅰ)連接，以所在的直線為軸，軸，軸

建立如圖所示的空間直角坐標系．       …………………………………（2分)

    正四棱錐的底面邊長和側棱長都是2，

．

    ．

   為的中點．

                                     …………（4分）

．

即異面直線和所成的角為      ………(6分)

(Ⅱ)．

是平面的一個法向量．        ……………………………（8分）

由（Ⅰ）得．

設平面的一個法向量為，

則由，得．

，不妨設，

  得平面的一個法向量為．            ………………（10分）

．

二面角小于，

二面角的余弦值為．             ………………（12分）

20.(本題12分)

    解：(Ⅰ)由已知得，又，

                  即．   …………………………（2分）

                  ，公差．

                  由，得   …………………………（4分）

即．解得或(舍去)．

       ．           …………………………（6分）

(Ⅱ)由得

          …………………………（8分）

                      …………………………（9分）

   是等差數列．

則

    ………………………(11分)

            ……………………(12分)

21．(本題14分)

  解：(Ⅰ)依題意得

        ．                  ………………………（2分）

            把（1，3）代入．

            解得．

橢圓的方程為．                 ………………………（4分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，設，如圖所示

   點在橢圓上，

．       ①

點異于頂點、，

．

由、、三點共線，可得

從而     …………………………（7分）

 ②  …………（8分）

將①式代入②式化簡得            …………（10分）

                                     …………（12分）

于是為銳角，為鈍角．

點B在以MN為直徑的圓內．                     ……………(14分)

22.（本題14分)

解：（Ⅰ），

                  令，得或．          ………………（2分）

                  當時，在上單調遞

當時，在上單調遞減，

                  而，

                  當時，的值域是．    ……………（4分）

(Ⅱ)設函數在上的值域是A，

若對任意．總存在1,使，

．                               ……………（6分）

．

①當時，，

               函數在上單調遞減．

              ，

當時，不滿足；    ……………………(8分)

②當時，，

令，得或(舍去        ………………(9分)

（i）時，的變化如下表：

0

2

-

0

+

0

．

，解得．      …………………(11分)

(ii)當時，

       函數在上單調遞減．

       ，

        當時，不滿足．         …………………(13分)

        綜上可知，實數的取值范圍是．     ……………………（14分）