題目列表(包括答案和解析)
必做題
已知拋物線
的焦點為
，點
（與原點不重合）在拋物線上．
（1）作一條斜率為
的直線交拋物線于
兩點，連接
分別交
軸于
兩點，（直線與軸不垂直），求證
；
（2）設
為拋物線上兩點，過作拋物線的兩條切線相交于點
，（與
不重合，與 的連線也不垂直于
軸），求證:
．
必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
在三棱錐ABCD中，平面DBC⊥平面ABC，△ABC為正三角形， AC=2，DC=DB=
，
（1）求DC與AB所成角的余弦值；
（2）在平面ABD上求一點P，使得CP⊥平面AB D．
必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
某商場搞促銷，當顧客購買商品的金額達到一定數量之后可以抽獎，根據顧客購買商品的金額，從箱中（裝有4只紅球，3只白球，且除顏色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只紅球獎勵20元的商品（當顧客通過抽獎的方法確定了獲獎商品后，即將小球全部放回箱中）
（1）當顧客購買金額超過500元而少于1000元（含1000元）時，可從箱中一次隨機抽取3個小紅球，求其中至少有一個紅球的概率；
（2）當顧客購買金額超過1000元時，可一次隨機抽取4個小球，設他所獲獎商品的金額為
元，求的概率分布列和數學期望．
必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
在三棱錐ABCD中，平面DBC⊥平面ABC，△ABC為正三角形， AC=2，DC=DB=
，
（1）求DC與AB所成角的余弦值；
（2）在平面ABD上求一點P，使得CP⊥平面AB D．
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
C
B
D
C
B
A
Ｂ
Ｄ
Ａ
二、填空題
13．
14. 7500 15. （-1，1）
16. 
１７．45o １８．
三、解答題
１９解：（Ⅰ）
┅┅┅┅┅┅┅４分
因為
，所以
，所以
，
即
的取值范圍為
┅┅┅┅┅┅┅６分
（Ⅱ）因為
，所以
┅┅┅┅┅┅┅８分
所以
的最小值為
，當
即
為等邊三角形時取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分
２０（Ⅰ）證明（方法一）取
中點
，連接
，因為
分別為
中點，所以
，┅┅┅┅┅┅┅３分
所以
，所以四邊形
為平行四邊形，所以
，又因為
，所以
面
；┅┅┅┅┅┅┅６分
（方法二）取
中點
，連接
，
因為
分別為
中點，所以
又因為
分別為
中點，所以
┅┅┅┅┅┅┅３分
且
，
所以面
面
，
又
面
，所以面┅┅┅┅┅┅６分
（方法三）取
中點
，連接
，
由題可得
，又因為面
面
，
所以
面，又因為菱形中
，所以
.
可以建立如圖所示的空間直角坐標系
┅┅┅┅┅┅┅7分
不妨設
，
可得
，
，
，
，
，所以
所以
，┅┅┅┅┅┅┅9分
設面的一個法向量為
，則
，不妨取
，則
，所以
，又因為
面，所以面.
┅┅┅┅┅┅┅12分
（Ⅱ）（方法一）
過
點作的垂線
交于
，連接
.
因為
，
所以
，所以
面
，
所以
為二面角
的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分
因為面面，所以
點在面上的射影落在上，所以
，
所以
，不妨設，所以
，同理可得
.┅┅┅┅┅┅┅10分
所以
，所以二面角的大小為
┅┅┅┅┅┅┅12分
（方法二）由（Ⅰ）方法三可得
，設面
的一個法向量為
，則
，不妨取
，則
.
┅┅┅┅┅┅┅８分
又
，設面
的一個法向量為
，則
，不妨取
，則
.┅┅┅┅┅┅┅１０分
所以
，因為二面角為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分
２１解：
（Ⅰ）從盒中一次性取出三個球，取到白球個數的分布列是超幾何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分
所以期望為
，所以
，即盒中有 3個紅球，2 個白球．┅┅┅┅┅┅┅３分
（Ⅱ）由題可得
的取值為0，1，2，3.
,
=
,
,
所以的分布列為
0
1
2
3
P
┅┅┅┅┅┅┅１１分
E =
答：紅球的個數為2，的數學期望為2 ┅┅┅┅┅┅┅１2分
２２解：（Ⅰ）由
可得
，┅┅┅┅┅┅┅2分
即
，所以
，┅┅┅┅┅┅┅４分
又
，所以
，
所以
是等差數列，首項為
，公差為1┅┅┅┅┅┅┅６分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，即
┅┅┅┅┅┅┅７分
令
①
則
②┅┅┅┅┅┅９分
①-②可得
所以
，所以
┅┅１2分
２３解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以
及點
為頂點的三角形，
∵
，∴
為直角三角形， ┅┅┅┅┅┅┅2分
∴外接圓C以原點O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為
．
∵2b=4，∴b=2．又
，可得
．
∴所求橢圓C1的方程是
．
┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），
，OA的斜率為
，則PA的斜率為
，則PA的方程為：
化簡為：
，
同理PB的方程為
┅┅┅┅┅┅┅6分
又PA、PB同時過P點，則x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
∴AB的直線方程為：x0x+y0y=4 ┅┅┅┅┅┅┅8分
（或者求出以OP為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）
從而得到
、
所以 
┅┅┅┅┅┅┅8分
當且僅當
.
┅┅┅┅┅┅┅12分
（或者利用橢圓的參數方程
、函數求最值等方法求
的最大值）
２４解：（Ⅰ）
┅┅┅┅┅┅┅2分
①當
，即
，在
上有
，所以
在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分
②當
，即
，當
時，在上有，所以在單調遞增；當
時，在
上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分
③當
，即
當
時，函數
對稱軸在y軸左側，且
，所以在上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅８分
當
時，函數對稱軸在
右側，且，
兩個根分別為
，所以在
上有，即在單調遞增；在
上有
，即在單調遞減.
綜上：
時，在單調遞增；時，在單調遞增，在單調遞減. ┅┅┅┅┅┅┅１０分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當時，有極大值
，極小值
，所以
，又因為
，
┅┅┅１2分
所以
=
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