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（2011•濰坊二模）2011年3月，日本發生了9.0級地震，地震引發了海嘯及核泄漏，某國際組織計劃派出12名心理專家和18名核專家赴日本工作，臨行前對這30名專家進行了總分為1000分的綜合素質測評，測評成績用莖葉圖進行了記錄，如圖（單位：分）．規定測評成績在976分以上（包括976）為“尖端專家”，測評成績在976分以下為“高級專家”，且只有核專家中的“尖端專家”才可以獨立開展工作，這些專家先飛抵日本的城市E，再分乘三輛汽車到達工作地點福島縣．已知從城市E到福島縣有三條公路，因地震破壞了道路，汽車可能受阻．據了解：汽車走公路I和公路II順利到達的概率都為

9

10

；走公路III順利到達的概率為

2

5

，甲、乙、丙三輛車分別走公路I、II、III，且三輛汽車是否順利到達相互之間沒有影響．
（I）如果用分層抽樣的方法從“尖端專家”和“高級專家”中選取6人，再從這6人中選2人，那么至少有一人是“尖端專家”的概率是多少？
（Ⅱ）求至少有兩輛汽車順利到達福島縣的概率；
（Ⅲ）若從所有“尖端專家”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能獨立開展工作的人數，試寫出ξ的數學期望．

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一、選擇題

1-5 BBAB 文B理A  6-10 ADCBC 11-12文B理D A

6.A 提示：設＝，則表示點與點（0，0）連線的斜率.當該直線kx－y＝0與圓相切時，取得最大值與最小值.圓心（2,0），由＝1，解得，∴的最大值為.11.(文) B 

11.(文) A       提示：拋物線的焦點為F（1，0），作PA垂直于準線x＝－1，則

｜PA｜＝｜PF｜，當A、P、Q在同一條直線上時，

｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，

此時，點P到Q點距離與拋物線焦點距離之和取得最小值，

P點的縱坐標為－1，有1＝4x，x＝，此時P點坐標為（，－1），故選A。

11.（理） B提示：設則

又。

12.A    提示:如右圖所示,設點P的坐標為(x₀,y₀),由拋物線以F₂為頂點,F₁為焦點,可得其準線的方

程為x＝3c, 根據拋物線的定義可得|PF₁|＝|PR|＝3c－x₀,又由點P為雙曲線上的點,根據雙曲線的第二定義可得＝e, 即得|PF₂|＝ex₀－a, 由已知a|PF₂|＋c|PF₁|＝8a²，可得－a²＋3c²＝8a²,即e²＝3,由e＞1可得e＝, 故應選A.

二、填空題：13-16文理    3   35

九、實戰演習

一  選擇題

1．與圓相切，且在兩坐標軸上截距相等的直線共有 （   ）

A．2條          B.3條         C.4條        D.6條

1.C提示： 在兩坐標軸上截距相等的直線有兩類：①直線過原點時，有兩條與已知圓相切；②直線不過原點時，設其方程為，也有兩條與已知圓相切.易知①、②中四條切線互不相同，故選C.

2．在中，三內角所對的邊是且成等差數列，那么直線與直線的位置關系是  （        ）

A.平行        B.重合       C.垂直      D.相交但不垂直

2.B提示：成等差數列，

又，

，故兩直線重合。選B。

3.已知函數，集合，集合，則集合的面積是      

A．             B．            C．            D．

3.D提示： 集合即為：，集合即為： ，其面積等于半圓面積。

4．（文）已知直線m：交x軸于M，E是直線m上的點，N(1，0)，又P在線段EN的垂直平分線上，且，則動點P的軌跡是(  )

A．圓   B．橢圓   C．雙曲線    D．拋物線

4．（文）D．

4．（理）已知P在雙曲線上變動，O是坐標原點，F是雙曲線的右焦點，則的重心G的軌跡方程是(  )

A．    B．

C．     D．

4．（理）C．提示：雙曲線焦點坐標是F(6，0)．設雙曲線上任一點P(x₀，y₀)， 的重心G(x，y)，則由重心公式，

得，解得，代入，得為所求．

5.已知是三角形的一個內角，且，則方程表示（　　　）

A.焦點在軸上的橢圓　　　　　B.焦點在軸上的橢圓

C.焦點在軸上的雙曲線　　　　D.焦點在軸上的雙曲線

5.B提示：由，又是三角形的一個內角，故，

再由，

結合解得

。

故方程表示焦點在軸上的橢圓。選B。

或者結合單位圓中的三角函數線直接斷定。

6.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　　 ）

A.有且僅有一條     B.有且僅有兩條      C.有無窮多條      D.不存在

6.B提示：該拋物線的通徑長為4，而這樣的弦AB的長為，故這樣的直線有且僅有兩條。選B。

或者（1）當該直線的斜率不存在時，它們的橫坐標之和等于2；

（2）當該直線的斜率存在時，設該直線方程為，代入拋物線方程得

，由。故這樣的直線有且僅有兩條。

7.一個橢圓中心在原點，焦點在軸上，（2，）是橢圓上一點，且成等差數列，則橢圓方程為　　　　　　　　　　　　（　　　）

A.     B.    C.     D.

7.A提示：設橢圓方程為，由成等差數列知，從而，故橢圓方程為，將P點的坐標代入得，故所求的橢圓方程為。選A。

8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)為頂點的三角形形狀為（  ）

A .直角三角形  B. 等腰三角形   C.非等腰三角形三角形   D.等邊三角形

8. B.提示：由兩點間距離公式，得，，故選B.

9. 若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（　）

A．，　  B．，   　　C．，　  D．，

9.D提示：特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程得

若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則應滿足

。選D。

10. （文）設離心率為e的雙曲線的右焦點為F，直線過點F且斜率為K，則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是（　　）

Ａ．      Ｂ． 

Ｃ．      Ｄ．

10. （理）已知兩個點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”。給出下列直線①②③④。其中屬于“B型直線”的是（      ）

A、①③    B、①②     C、③④     D、①④

10. （文）C  提示：由已知設漸近線的斜率為于是

，即故選C；

10. （理）B 提示：理解為以M、N為焦點的雙曲線，則c=5, 又|PM|-|PN|=6，則a=3,b=4,幾何意義是雙曲線的右支，所謂“B型直線”即直線與雙曲線的右支有交點，又漸近線為：，逐一分析，只有①②與雙曲線右支有交點，故選B；

11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P在雙曲線上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為   （   ）

A、      B、     C、     D、2

11.B提示：，由    又

∴ 故選B項。

12．若AB過橢圓 ＋ =1 中心的弦, F₁為橢圓的焦點, 則△F₁AB面積的最大值為(    ) 

A. 6   B.12   C.24   D.48

12.B提示：設AB的方程為，代入橢圓方程得，。選B。

二  填空題

13.橢圓M：=1 (a>b>0) 的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為橢圓M上任一點，且 的最大值的取值范圍是[2c²，3c²]，其中. 則橢圓M的離心率e的取值范圍是         

13.

14. 1.1998年12月19日，太原衛星發射中心為摩托羅拉公司（美國）發射了兩顆“銥星”系統通信衛星.衛星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點為m km，遠地點為  n km，地球的半徑為R km，則通信衛星運行軌道的短軸長等于         

14. 2提示：  －c=m+R， +c=n+R，

∴c=，b=2=2.

15. 已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線段AB中點的軌跡方程是                               。

15. 提示：滿足(a-2)(b-2)=2。設AB的中點坐標為(x,y), 則a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。

    16．以下四個關于圓錐曲線的命題中

①設A、B為兩個定點，k為非零常數，，則動點P的軌跡為雙曲線；

②過定圓C上一定點A作該圓的動弦AB，O為坐標原點，若則動點的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線有相同的焦點.

其中真命題的序號為                 （寫出所有真命題的序號）

16. ③、④

三  解答題（７４分）

17. （本小題滿分12分）已知，直線：和圓：．

（1）求直線斜率的取值范圍；

（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧？為什么？

解析：（1）直線的方程可化為，直線的斜率，因為，所以，當且僅當時等號成立．

所以，斜率的取值范圍是．

（2）不能．由（1）知的方程為，其中．

圓的圓心為，半徑．圓心到直線的距離．

由，得，即．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于．所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段弧．

18. （本小題滿分12分）已知A、B分別是橢圓的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求的值

18.解：（1）由題意知：

∴橢圓的標準方程為=1.        

（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點，

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 .   

在△ABC中，由正弦定理，  ，

∴＝ .       

19．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個焦點是(為大于0的常數).

 （1）求橢圓的方程;

 （2）設是橢圓上一點,且過點