題目列表(包括答案和解析)
已知中心在坐標原點，焦點在
軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為
．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點
(0,1), 問是否存在直線
與橢圓
交于
兩點,且
？若存在,求出
的取值范圍,若不存在,請說明理由.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關系的運用。
第一問中，可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又
,所以
,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
第二問中，
假設存在這樣的直線
,設
,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MN
EF所以
(i)其中若
時,則K=0,顯然直線
符合題意;
(ii)下面僅考慮
情形:
由
,得,
,得
代入1,2式中得到范圍。
(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
(Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
則
．
代入①式得,解得
………………………………………12分
代入②式得
,得
．
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線
,其斜率k的取值范圍是
已知中心在原點O，焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經過點C（2，2），且拋物線
的焦點為F1.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。第一問中，設出橢圓的方程，然后結合拋物線的焦點坐標得到
，又因為
，這樣可知得到
。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯立方程組可以得到
，再利用
可以結合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。
解：(Ⅰ)設橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………２分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，……………5分
代入橢圓E方程，得…………………………6分
………………………7分
、
………………8分
………………………9分
……………………………10分
當m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x1 +x2=4，圓心為（2，1），半徑為2，
圓P的方程為（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分
同理，當m=－3時，直線l方程為y=-x－3，
圓P的方程為（x+2）2+(y+1)2=4
已知數列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用
關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結論。
解：(Ⅰ)當
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數學歸納法）①當
時, 
,命題成立;
②假設
時,命題成立,即
,
則當
時,
即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
設點
是拋物線
的焦點，
是拋物線
上的
個不同的點（
）.
（1） 當
時，試寫出拋物線
上的三個定點
、
、
的坐標，從而使得
；
（2）當
時，若
，
求證：
；
（3） 當時，某同學對（2）的逆命題，即：
“若，則.”
開展了研究并發現其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：
① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；
② 對任意給定的大于3的正整數，試構造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為
，設
，
分別過
作拋物線的準線
的垂線，垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問設
，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問中①取
時，拋物線的焦點為，
設，
分別過
作拋物線的準線垂線，垂足分別為
.由拋物線定義得
，
則
，不妨取
；
；
；
解：（1）拋物線的焦點為，設，
分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得
因為，所以
，
故可取
滿足條件.
（2）設
，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得
又因為
；
所以
.
（3） ①取時，拋物線的焦點為，
設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得
，
則，不妨取；；；，
則
，
.
故
，
，
，
是一個當
時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設，分別過作
拋物線的準線的垂線，垂足分別為，
由
及拋物線的定義得
，即.
因為上述表達式與點
的縱坐標無關，所以只要將這點都取在
軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則
，
而
，所以
.
（說明：本質上只需構造滿足條件且
的一組個不同的點，均為反例.）
③ 補充條件1：“點
的縱坐標
（
）滿足 
”，即：
“當時，若
，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設
，
分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由
，
及拋物線的定義得，即，則
，
又由，所以，故命題為真.
補充條件2：“點
與點
為偶數，
關于軸對稱”，即：
“當時，若，且點與點為偶數，關于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）
設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數表構成的集合。
對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數之和（1≤j≤n）：
記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
（1） 對如下數表A，求K（A）的值；
|
1 |
1 |
-0.8 |
|
0.1 |
-0.3 |
-1 |
（2）設數表A∈S（2,3）形如
|
1 |
1 |
c |
|
a |
b |
-1 |
求K（A）的最大值；
（3）給定正整數t，對于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。
【解析】（1）因為
，
所以
（2） 不妨設
.由題意得
.又因為
，所以
，
于是
，
，
所以
，當
，且
時，
取得最大值1。
（3）對于給定的正整數t，任給數表
如下，
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每一個數換成它的相反數，所得數表
，并且
，因此，不妨設
，
且
。
由
得定義知，
，
又因為
所以
所以，
對數表
：
|
1 |
1 |
… |
1 |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
-1 |
… |
-1 |
則
且
，
綜上，對于所有的，的最大值為
一、選擇題
1-5 BBAB 文B理A 6-10 ADCBC 11-12文B理D A
6.A 提示：設
＝
，則
表示點
與點（0，0）連線的斜率.當該直線kx－y＝0與圓相切時，取得最大值與最小值.圓心（2,0），由
＝1，解得
，∴
的最大值為
.11.(文) B
11.(文) A 提示：拋物線的焦點為F（1，0），作PA垂直于準線x＝－1，則
｜PA｜＝｜PF｜，當A、P、Q在同一條直線上時，
｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，
此時，點P到Q點距離與拋物線焦點距離之和取得最小值，
P點的縱坐標為－1，有1＝4x，x＝
，此時P點坐標為（，－1），故選A。
11.（理） B提示：設
則
又
。
12.A 提示:如右圖所示,設點P的坐標為(x0,y0),由拋物線以F2為頂點,F1為焦點,可得其準線的方
程為x＝3c, 根據拋物線的定義可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由點P為雙曲線上的點,根據雙曲線的第二定義可得＝e, 即得|PF2|＝ex0－a, 由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,由e＞1可得e＝, 故應選A.
二、填空題：13-16文
理
3 35
九、實戰演習
一 選擇題
1．與圓
相切，且在兩坐標軸上截距相等的直線共有 （ ）
A．2條 B.3條 C.4條 D.6條
1.C提示： 在兩坐標軸上截距相等的直線有兩類：①直線過原點時，有兩條與已知圓相切；②直線不過原點時，設其方程為
，也有兩條與已知圓相切.易知①、②中四條切線互不相同，故選C.
2．在
中，三內角
所對的邊是
且
成等差數列，那么直線
與直線
的位置關系是 （ ）
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
2.B提示：成等差數列
，
又
，
，故兩直線重合。選B。
3.已知函數
，集合
，集合
，則集合
的面積是
A．
B． 
C．
D． 
3.D提示： 集合
即為：
，集合
即為： 
，其面積等于半圓面積。
4．（文）已知直線m：
交x軸于M，E是直線m上的點，N(1，0)，又P在線段EN的垂直平分線上，且
，則動點P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
4．（文）D．
4．（理）已知P在雙曲線
上變動，O是坐標原點，F是雙曲線的右焦點，則
的重心G的軌跡方程是( )
A． 
B． 
C． 
D． 
4．（理）C．提示：雙曲線焦點坐標是F(6，0)．設雙曲線上任一點P(x0，y0)， 的重心G(x，y)，則由重心公式，
得
，解得
，代入
，得為所求．
5.已知
是三角形的一個內角，且
，則方程
表示（ ）
A.焦點在
軸上的橢圓 B.焦點在
軸上的橢圓
C.焦點在軸上的雙曲線 D.焦點在軸上的雙曲線
5.B提示：由
，又是三角形的一個內角，故
，
再由
，
結合解得
。
故方程表示焦點在軸上的橢圓。選B。
或者結合單位圓中的三角函數線直接斷定
。
6.過拋物線
的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線 （
）
A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在
6.B提示：該拋物線的通徑長為4，而這樣的弦AB的長為
，故這樣的直線有且僅有兩條。選B。
或者（1）當該直線的斜率不存在時，它們的橫坐標之和等于2；
（2）當該直線的斜率存在時，設該直線方程為
，代入拋物線方程得
，由
。故這樣的直線有且僅有兩條。
7.一個橢圓中心在原點，焦點
在軸上，
（2，
）是橢圓上一點，且
成等差數列，則橢圓方程為 （ ）
A.
B.
C.
D.
7.A提示：設橢圓方程為
，由成等差數列知
，從而
，故橢圓方程為
，將P點的坐標代入得
，故所求的橢圓方程為。選A。
8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)為頂點的三角形形狀為（ ）
A .直角三角形 B. 等腰三角形 C.非等腰三角形三角形 D.等邊三角形
8. B.提示：由兩點間距離公式，得
，
，故選B.
9. 若直線
與雙曲線
的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（ ）
A．
，
B．
， C．，
D．，
9.D提示：特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程得
若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則應滿足
。選D。
10. （文）設離心率為e的雙曲線
的右焦點為F，直線
過點F且斜率為K，則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10. （理）已知兩個點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”。給出下列直線①
②
③
④
。其中屬于“B型直線”的是（
）
A、①③ B、①② C、③④ D、①④
10. （文）C 提示：由已知設漸近線的斜率為
于是
，即
故選C；
10.
（理）B 提示：理解為以M、N為焦點的雙曲線，則c=5, 又|PM|-|PN|=6，則a=3,b=4,幾何意義是雙曲線
的右支，所謂“B型直線”即直線與雙曲線的右支有交點，又漸近線為：
，逐一分析，只有①②與雙曲線右支有交點，故選B；
11.已知雙曲線
的左、右焦點分別為
，點P在雙曲線上，且
，則此雙曲線的離心率
的最大值為 （ ）
A、
B、
C、
D、2
11.B提示：
，
由 
又
∴
故選B項。
12．若AB過橢圓 ＋ =1 中心的弦, F1為橢圓的焦點, 則△F1AB面積的最大值為( )
A. 6 B.12 C.24 D.48
12.B提示：設AB的方程為
，代入橢圓方程得
，
。選B。
二 填空題
13.橢圓M：
=1 (a>b>0)
的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且
的最大值的取值范圍是[2c2，3c2]，其中
. 則橢圓M的離心率e的取值范圍是
13. 
14. 1.1998年12月19日，太原衛星發射中心為摩托羅拉公司（美國）發射了兩顆“銥星”系統通信衛星.衛星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點為m km，遠地點為 n km，地球的半徑為R km，則通信衛星運行軌道的短軸長等于
14. 2
提示： 
－c=m+R， +c=n+R，
∴c=
，b=2
=2.
15. 已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線段AB中點的軌跡方程是 。
15. 
提示：
滿足(a-2)(b-2)=2。設AB的中點坐標為(x,y), 則a=2x,b=2y,
代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)=
(x>1,y>1)。
16．以下四個關于圓錐曲線的命題中
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，
，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作該圓的動弦AB，O為坐標原點，若
則動點
的軌跡為橢圓；③方程
的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線
有相同的焦點.
其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號）
16. ③、④
三 解答題（７４分）
17. （本小題滿分12分）已知
，直線
：
和圓
：
．
（1）求直線斜率的取值范圍；
（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧？為什么？
解析：（1）直線的方程可化為
，直線的斜率
，因為
，所以
，當且僅當
時等號成立．
所以，斜率的取值范圍是
．
（2）不能．由（1）知的方程為
，其中
．
圓的圓心為
，半徑
．圓心到直線的距離
．
由，得
，即
．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于
．所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段弧．
18. （本小題滿分12分）已知A、B分別是橢圓
的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P
）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求
的值
18.解：（1）由題意知：
∴橢圓的標準方程為
=1.
（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點，
∴AC＋BC＝2a＝
，AB＝2c＝2 .
在△ABC中，由正弦定理，
，
∴＝
.
19．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個焦點是
(
為大于0的常數).
（1）求橢圓的方程;
（2）設
是橢圓上一點,且過點
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