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……………………4分

（Ⅱ）在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°

∴AO=AA₁?cos60°=1

所以O是AC的中點，由于底面ABCD為菱形，所以

O也是BD中點

由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA₁C

過O作OE⊥AA₁于E點，連接OE，則AA₁⊥DE

則∠DEO為二面角D―AA₁―C的平面角

……………………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2

∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO=

DE=

∴cos∠DEO=

∴二面角D―A₁A―C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）存在這樣的點P

連接B₁C，因為A₁B₁AB_DC

∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形。

∴A₁D//B₁C

在C₁C的延長線上取點P，使C₁C=CP，連接BP……………………10分

因B_­1­BCC₁，……………………12分

∴BB₁CP

∴四邊形BB₁CP為平行四邊形

則BP//B₁C

∴BP//A₁D

∴BP//平面DA₁C₁

20．解：

（Ⅰ）

令……………………2分

當是增函數(shù)

當是減函數(shù)……………………4分

∴……………………6分

（Ⅲ）（i）當時，，由（Ⅰ）知上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)

……………………7分

又當時，所以的圖象在上有公共點，等價于…………8分

解得…………………9分

（ii）當時，上是增函數(shù)，

∴

所以原問題等價于

又

∴無解………………11分