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（本小題滿分12分） 古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現用a_n表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
(1) 寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
(2) 記，求和（）；（其中表示所有的積的和）
(3)證明：

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(本小題滿分12分)
古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現用a_n表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
(1)   寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
(2)   記，求和（）；
（其中表示所有的積的和）
(3)   證明：．

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第 Ⅰ 卷（共50分）

一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

C

C

A

B

D

D

C

A

二、填空題：

11. 20    12.  4    13.  22       14.  24     15.

三、解答題：

16.解：（1）由得

                ………………………………………2分

                                …………………………6分

（2）

                               …………………………10分

        ……………12分

17.解：（1）取SA的中點H，連結EH,BH

E是SD的中點

四邊形EFBH為平行四邊形

  又

                                      ………………………4分

（2）  

以為原點，為軸，為軸，為軸，如圖所示建立直角坐標系，

則

設是平面的法向量，則

       取

則到平面的距離為                …………………………8分

（3）設，則 

設是平面的法向量，則

  取  

由  得

，  故存在G點滿足要求，.             …………………………12分

18.解：

由已知，得

       …………………………3分

（1）

由，得或

由，得

的遞增區間是，遞減區間是……………………6分

（2）不等式即 

由，得

又

在內最大值為6，最小值為－14

的取值范圍為                            …………………………12分

19.解：（1） …………………………2分

  隨的增大而增大

當時，                              …………………………6分

（2）連續操作四次“獲勝”的概率記作，則

當且僅當   即時取“＝”

由 ，得     

當時，“獲勝”的概率最大.                  …………………………12分

20.解：設A、B的坐標分別為 的方程為：

（1）N點坐標

所求的方程為：                          …………………………6分

（2）由  得 

， ， 

設點坐標為 ， 顯然 

                                        …………………………13分

21.解：（1）欲使為等差數列，只需

即 

令  得

存在實數，使是等差數列.               …………………………3分

（2）

是等差數列，

                                 …………………………5分

故                               …………………………8分

（3）當時，

又，

左式.   …………………………14分