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A．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，弧AB=弧AD，過A點的切線交CB的延長線于E點．
求證：AB²=BE•CD．
B．已知矩陣M

2 -3 1 -1

所對應的線性變換把點A（x，y）變成點A′（13，5），試求M的逆矩陣及點A的坐標．
C．已知圓的極坐標方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）將圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

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A．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=

.

1 -2 3 -7

.

．
（1）求逆矩陣A^-1；
（2）若矩陣X滿足AX=

3 1

，試求矩陣X．
C．坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C₁：ρcos（θ+

π

4

）=2

2

與曲線C₂：

x=4t2 y=4t

，（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數，求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

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A．（極坐標系與參數方程選做題） 已知圓ρ=3cosθ，則圓截直線

x=2+2t y=1+4t

（t是參數）所得的弦長為

 

；
B．（幾何證明選講選做題） 如圖：PA與圓O相切于A，PCB為圓O的割線，并且不過圓心O，已知∠BPA=30°，PA=2

3

，PC=1，則圓O的半徑等于

 

．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

2

題號

7

8

9

10

11

答案

4

8.3

②、③

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

15

答案

A

C

B

B

三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16.（理）解：設為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．

因為，所以

    推出．

依題意可知，當時，取得最小值．而，

故有，解得．

又點在橢圓的長軸上，即. 故實數的取值范圍是．

…2

…6

…8

…10

…12

16.（文）解：由條件，可得，故左焦點的坐標為.

設為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．

因為，所以

         ,

由二次函數性質可知，當時，取得最小值4．

所以，的模的最小值為2，此時點坐標為.

…2

…6

…8

…10

…12

17. 解：（1）當時，；

當且時，；

當時，；（不單獨分析時的情況不扣分）

當時，.

（2） 由（1）知：當時，集合中的元素的個數無限；

當時，集合中的元素的個數有限，此時集合為有限集.

因為，當且僅當時取等號，

所以當時，集合的元素個數最少.

此時，故集合.

…2

…4

…6

…8

…12

…14

18.(理) （本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）

解：（1）如圖，建立空間直角坐標系.不妨設.

依題意，可得點的坐標，，.

    于是，，.

 由，則異面直線與所成角的大小為.

（2）解：連結.  由，是的中點，得;

由面，面，得.

又，因此面

由直三棱柱的體積為.可得.

所以，四棱錐的體積為

.

…3

…7

…9

…11

…13

…15

18. （文）（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：

 （2）解：如圖所示. 由，，則面.所以，四棱錐的體積為.

…3

…6

…10

…15

19．解：（1）根據三條規律，可知該函數為周期函數，且周期為12.

由此可得，；

由規律②可知，，

；

又當時，，

所以，，由條件是正整數，故取.

 綜上可得，符合條件.

（2） 解法一：由條件，，可得

，

，

，.

因為，，所以當時，，

故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區的旅游“旺季”.

解法二：列表，用計算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人數

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四個月是該地區的旅游“旺季”.

…3

…6

…9

…10

…12

…14

…16

…15

…16

20.解：（1）依條件得： 則無窮等比數列各項的和為：

     ；

  （2）解法一：設此子數列的首項為，公比為，由條件得：，

則，即    

而  則 .

所以，滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，它的首項、公比均為，

其通項公式為，.

解法二：由條件，可設此子數列的首項為，公比為.

由………… ①

又若，則對每一都有………… ②

從①、②得；

則；

因而滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，此子數列是首項、公比均為無窮等比子數列，通項公式為，.

…4

…7

…9

…10

…7

…9

…10

（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：

問題一：是否存在數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和互為倒數？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由.

解：假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和之積為1。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

因為等式左邊或為偶數，或為一個分數，而等式右邊為兩個奇數的乘積，還是一個奇數。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數列不存在。

【以上解答屬于層級3，可得設計分4分，解答分6分】

問題二：是否存在數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由.

解：假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和相等。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則

………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設，則

①………… ②

1當時，②，等式左邊是偶數，右邊是奇數，矛盾；

2當時，②

或

   ，

兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

綜合可得，不存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們的各項和相等。

【以上解答屬于層級4，可得設計分5分，解答分7分】

問題三：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由.

解：假設存在滿足條件的原數列的兩個不同的無窮等比子數列。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

顯然當時，上述等式成立。例如取，，得：

第一個子數列：，各項和；第二個子數列：，

各項和，有，因而存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍。

【以上解答屬層級3，可得設計分4分，解答分6分.若進一步分析完備性，可提高一個層級評分】

問題四：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍？并說明理由. 解（略）：存在。

問題五：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍？并說明理由. 解（略）：不存在.

【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設計，可得設計分5分。解答分最高7分】

2008學年度第一學期上海市普陀區高三年級質量調研數學試卷（文科）2008.12

說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應位置，本卷上任何解答都不作評分依據。

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結果填寫在答題紙對應的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.

1. 已知集合，集合,則            .

2. 拋物線的焦點坐標為              .

3. 已知函數，則          .

4. 設定義在上的函數滿足，若，則