在直三棱柱ABC-A′B′C′中.∠BAC＝90°.AB＝BB′＝1.直線B′C與平面ABC成30°的角. (1)求點C′到平面AB′C的距離, (2)求二面角B-B′C-A的余弦值. 解析:(1)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱.∴A′C′∥AC.AC平面AB′C.∴A′C′∥平面AB′C.于是C′到平面AB′C的距離等于點A′到平面AB′C的距離.作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′.∴A′M⊥平面AB′C.A′M的長是A′到平面AB′C的距離. ∵AB＝B′B＝1.⊥B′CB＝30°.∴B′C＝2.BC＝.AB′＝.A′M＝＝. 即C′到平面AB′C的距離為, (2)作AN⊥BC于N.則AN⊥平面B′BCC′.作NQ⊥B′C于Q.則AQ⊥B′C.∴∠AQN是所求二面角的平面角.AN＝＝.AQ＝＝1.∴sin∠AQN＝＝,cos∠AQN＝. 說明 利用異面直線上兩點間的距離公式.也可以求二面角的大小.如圖.AB＝BB′＝1.∴AB′＝.又∠B′CB＝30°. ∴BC＝,B′C＝2,AC＝.作AM⊥B′C于M.BN⊥B′C于N.則AM＝1.BN＝. CN＝.CM＝1.∴MN＝.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C.∴BN與AM所成的角等于二面角B-B′C-A的平面角.設為θ.由AB2＝AM2+BN2+MN2-2AM×BN×cosθ得cosθ＝＝. 【
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