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如圖.過半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA.PB.PC.(1)求證:PA2+PB2+PC2為定值,(2)求三棱錐P-ABC的體積的最大值. 解析:先選其中兩條弦PA.PB.設(shè)其確定的平面截球得⊙O1.AB是⊙O1的直徑.連PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于D.PADB是矩形.PD2＝AB2＝PA2+PB2.然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了. 解: (1)設(shè)過PA.PB的平面截球得⊙O1.∵PA⊥PB. ∴AB是⊙O1的直徑.連PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于D.則PADB是矩形.PD2＝PA2+PB2. 設(shè)O為球心.則OO1⊥平面⊙O1. ∵PC⊥⊙O1平面. ∴OO1∥PC.因此過PC.PD的平面經(jīng)過球心O.截球得大圓.又PC⊥PD. ∴CD是球的直徑. 故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值. (2)設(shè)PA.PB.PC的長(zhǎng)分別為x.y.z.則三棱錐P-ABC的體積V＝xyz. V2＝x2y2z2≤()3＝·＝R6. ∴V≤R3. 即 V最大＝R3. 評(píng)析:定值問題可用特殊情況先“探求 .如本題(1)若先考慮PAB是大圓.探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向. 球面上任一點(diǎn)對(duì)球的直徑所張的角等于90°.這應(yīng)記作很重要的性質(zhì). 【查看更多】

 

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