已知正三棱柱ABC-A1B1C1.底面邊長為8.對角線B1C=10.D為AC的中點． (1) 求證AB1∥平面C1BD, (2) 求直線AB1到平面C1BD的距離． 證明:(1) 設B1C∩BC1=O． 連DO.則O是B1C的中點． 在△ACB1中.D是AC中點.O是B1C中點． ∴ DO∥AB1. 又DO平面C1BD.AB1平面C1BD. ∴ AB1∥平面C1BD． 解:(2) 由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.D是AC中點. ∴ BD⊥AC.且BD⊥CC1. ∴ BD⊥平面AC1. 平面C1BD⊥平面AC1.C1D是交線． 在平面AC1內作AH⊥C1D.垂足是H. ∴ AH⊥平面C1BD. 又AB1∥平面C1BD.故AH的長是直線AB1到平面C1BD的距離． 由BC=8.B1C=10.得CC1=6. 在Rt△C1DC中.DC=4.CC1=6. 在Rt△DAH中.∠ADH=∠C1DC ∴ ． 即AB1到平面C1BD的距離是． 評述:證明線面平行的關鍵是在平面內找出與已知直線平行的直線.如本題的DO．本題的第(2)問.實質上進行了“平移變換 .利用AB1∥平面C1BD.把求直線到平面的距離變換為求點A到平面的距離． 【
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