已知:正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為a． (1) 求證:平面A1BD∥平面B1D1C, (2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距離． 證明:(1) 在正方體ABCD-A1B1C1D1中. ∵ BB1平行且等于DD1. ∴ 四邊形BB1D1D是平行四邊形. ∴ BD∥B1D1. ∴ BD∥平面B1D1C． 同理 A1B∥平面B1D1C. 又A1B∩BD=B. ∴ 平面A1BD∥平面B1D1C 解:(2) 連AC1交平面A1BD于M.交平面B1D1C于N． AC是AC1在平面AC上的射影.又AC⊥BD. ∴ AC1⊥BD. 同理可證.AC1⊥A1B. ∴ AC1⊥平面A1BD.即MN⊥平面A1BD. 同理可證MN⊥平面B1D1C． ∴ MN的長是平面A1BD到平面B1D1C的距離. 設AC.BD交于E.則平面A1BD與平面A1C交于直線A1E． ∵ M∈平面A1BD.M∈AC1平面A1C. ∴ M∈A1E． 同理N∈CF． 在矩形AA1C1C中.見圖9-21(2).由平面幾何知識得 . ∴ ． 評述:當空間圖形較為復雜時.可以分解圖形.把其中的平面圖形折出分析.利于清楚地觀察出平面上各種線面的位置關系．證明面面平行.主要是在其中一個平面內找出兩條與另一個平面平行的相交直線.或者使用反證法． 【
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