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解答：解：（1）①∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ
②如圖：當點P由點B運動到點C時，點D運動路線為DD′，
∵AD=CD，AD′=D′Q′，
∴DD′=

1

2

CQ′=

1

2

AB=3；
∴點D運動路線的長為3．

（2）解法一：
過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足．

在△EFG中，易得EH=12．
類似（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM=∠EGN，
∵∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠EGN，
∴GE是∠FGN的角平分線，
∴點E到直線FG和GN的距離相等，
∴點E到直線GN的距離是12．
解法二：
過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足．過點E作直線
GN的垂線，點K為垂足，

在△EFG中，EH=

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=12
同（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM=∠EGN，可證明△EFH≌△EGK，
∴EH=EK．
∴點E到直線GN的距離是12，
解法三：
把△EFG繞點E旋轉，對應著點M在邊FG上從點F開始運動．

由題意，在運動過程中，點E到直線GN的距離不變．
不失一般性，設∠EMF=90°．
類似（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠ENG=∠EMF=90°，
求得EM=12，
∴點E到直線GN的距離是12．

點評：本題考查了全等三角形是判定與性質及等邊三角形的性質．解答此題的關鍵是根據等邊三角形的三邊關系及三個內角的關系證明△ABP≌△ACQ和△EFM≌△EGN，難度適中．