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已知函數f（x）=-x²+ax+b²-b+1（a∈R，b∈R），對任意實數x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若當x∈[-1，1]時，f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是．

已知a＞0，函數f（x）=ax-bx²．
（1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2

b

；
（2）當b＞1時，證明：對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件是b-1≤a≤2

b

；
（3）當0＜b≤1時，討論：對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件．

已知三次函數f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）過點（-1，2）且在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若對于區間[-3，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求實數t的最小值；
（Ⅲ）當-1≤x≤1時，|f′（x）|≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達式．

已知函數f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求正實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）當a=1時，求證：對大于1的任意正整數n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

已知函數f(x)=4x3-3x2cosθ+

1

32

，其中x∈R，θ為參數，且0≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）當cosθ=0時，判斷函數f（x）是否有極值；
（Ⅱ）要使函數f（x）的極小值大于零，求參數θ的取值范圍；
（Ⅲ）若對（Ⅱ）中所求的取值范圍內的任意參數θ，函數f（x）在區間（2a-1，a）內都是增函數，求實數a的取值范圍．