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在數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}前n項和，a₁=1，當n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求證：數列{

1

Sn

}是等差數列；
（II）設bn=

Sn

2n+1

求數列{b_n}的前n項和T_n；
（III）是否存在自然數m，使得對任意自然數n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．

在數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}前n項和，a₁=1，當n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求證：數列{

1

Sn

}是等差數列；
（II）設bn=

Sn

2n+1

求數列{b_n}的前n項和T_n；
（III）是否存在自然數m，使得對任意自然數n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．