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在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=a²，且過點(diǎn)A（

a2

c

，0）所作圓的兩條切線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓離心率；
（Ⅱ）若直線y=2

3

與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)T（0，3）在橢圓內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)P的最遠(yuǎn)距離不大于5

2

，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，-1），B點(diǎn)在直線y=-3上，M點(diǎn)滿足

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，M點(diǎn)的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P為C上的動點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值．

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，

若點(diǎn)C滿足，點(diǎn)C的軌跡與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．

（I）求證：；

（II）在軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)，使得過點(diǎn)P的任意一條拋物線的弦的長度是原點(diǎn)到該弦中點(diǎn)距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.