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一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．B    2．C   3．B   4．D   5．C   6．D   7．D  8．B   9．A   10．B   11．A   12．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分

13．27    14．20    15．2    16．①④

三、解答題（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17．（本小題共10分）

解：（I）

       故函數的周期為 ………………………………………….5分

（II）

     又

     函數的值域為_{………………….10分}

18．（本小題共12分）

    解：（1）3名志愿者每人任選一天參加社區服務，共有5³種不同的結果，這些結果出現的可能性都相等.   ………………1分

    設“3名志愿者恰好連續3天參加社區服務工作”為事件A，

    則該事件共包括種不同的結果，   ………………3分

    所以    ………………5分

    答：3名志愿者恰好連續3天參加社區服務工作的概率為   ………………6分

   （II）解法1：隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3  ………………7分

    隨機變量ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

3

P

                                         ……………………12分

    解法2：每名志愿者在5月1日參加社區服務的概率均為……7分

    則三名志愿者在5月1日參加社區服務的人數 

       ………………11分

    隨機變量ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

3

P

                                              ………………12分

19．（本小題共12分）

    方法1

   （I）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB//CD，∠BAD=90°，AD=DC=2

∴∠ADC=90°，且   ………………1分

取AB的中點E，連結CE.

由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2，

又

則△ABC為等腰直角三角形，

所以AC⊥BC，   又因為PA⊥平面ABCD，則AC為PC在平面ABCD內的射影，BC平面ABCD，

由三垂線定理得，BC⊥PC  ……………………4分

   （II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C.

所以BC⊥平面PAC， ……………………4分

PC是PB在平面APC內的射影，所以∠CPB是PB與平面PAC所成的角. ……5分

又，  ………………6分

   ………………7分

   ………………8分

   （III）由（II）可知，BC⊥平面PAC，BC平面PEC，

所以平面PBC⊥平面PAC， 

過A點在平面PAC內作AF⊥PC于E，所以AF⊥平面PBC，

則AF的長即為點A到平面PBC的距離.  ………………9分

在直角三角形PAC中，PA=2，AC=，   ………………10分

    ………………11分

所以   ………………12分

方法2：

∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°

∴以A為原點，AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系 

∵PA=AD=DC=2，AB=4.

  ………………2分

   （I）

  ………………3分

   ………………4分

   （II）

設   ………………6分

即PB與平面PAC所成角的正弦值為   ………………8分

   （III）由

設   ………………10分

 =

∴點A到平面PBC的距離為   ………………12分

20．（本小題共12分）

解：（I）令，得（舍去負的），

        同理，令可得_{................................................4分}

 （II）

      _{…………………8分}

  （Ⅲ）令

        _{………………..12分}

21．（本小題共12分）

     解：（I）由

             當時，當時，，

             的單調遞增區間是（-1，0），單調遞減區間是（0，）….6分

       （II）設

            則

            當時，在上是減函數；

            當時，在上是增函數。

            _{………………………………………………………..12分}

22．（本小題共12分）

    解：（I）如圖，由題意得，

    ∴所求的橢圓方程為    ………………3分

   （II）由（I）知，   ………………4分

   （III）設

    若以MP為直徑的圓恒過DP，MQ的交點，

    則恒成立.   ………………10分

    由（II）可知   ………………10分

    ∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線DP，MQ的交點. …………12分

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