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對于數列{a_n}，若定義一種新運算：△a_n=a_n+1-a_n（n∈N⁺），則稱{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列；類似地，對正整數k，定義：△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n），則稱{△^ka_n}為數列{a_n}的k階差分數列．
（1）若數列{a_n}的通項公式為a_n=5n²+3n（n∈N⁺），則{△a_n}，{△²a_n}是什么數列？
（2）若數列{a_n}的首項a₁=1，且滿足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N⁺），設數列{a_n}的前n項和為S_n，求{a_n}的通項公式及

lim

n→∞

Sn+n-2

n•3n

的值．

已知數列{a_n}，如果數列{b_n}滿足滿足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“生成數列”
（1）若數列{a_n}的通項為a_n=n，寫出數列{a_n}的“生成數列”{b_n}的通項公式．
（2）若數列{c_n}的通項為c_n=An+B，（A．、B是常數），試問數列{c_n}的“生成數列”{l_n}是否是等差數列，請說明理由．
（3）已知數列{d_n}的通項為dn=2n+n，設{d_n}的“生成數列”為{p_n}．若數列{L_n}滿足Ln=

dn     n是奇數 pn     n是偶數

求數列{L_n}的前n項和T_n．

（2013•普陀區二模）對于任意的n∈N^*，若數列{a_n}同時滿足下列兩個條件，則稱數列{a_n}具有“性質m”：
①

an+an+2

2

＜an+1；   ②存在實數M，使得a_n≤M成立．
（1）數列{a_n}、{b_n}中，a_n=n、bn=2sin

nπ

6

（n=1，2，3，4，5），判斷{a_n}、{b_n}是否具有“性質m”；
（2）若各項為正數的等比數列{c_n}的前n項和為S_n，且c3=

1

4

，S3=

7

4

，證明：數列{S_n}具有“性質m”，并指出M的取值范圍；
（3）若數列{d_n}的通項公式dn=

t (3•2n-n)+1

2n

（n∈N^*）．對于任意的n≥3（n∈N^*）．

對于集合M={1，2，3…，2n，…}，若集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*，滿足A∪B=M．
（1）若數列{a_n}的通項公式是an=2n-1，求等差數列{b_n}的通項公式；
（2）若M為2n元集合，A∩B=∅且

n

k=1

an=

n

k=1

bn，則稱A∪B是集合M的一種“等和劃分”（A∪B與B∪A算是同一種劃分）．
已知集合M={1，2，…，12}
①若12∈A，集合A中有五個奇數，試確定集合A；
②試確定集合M共有多少種等和劃分？

已知數列{a_n}中，a₁=1，S_n是數列{a_n}的前n項和，且滿足：2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0，
（1）求數列{a_n}的通項公a_n
（2）若記bn=(2n+1)•(

1

Sn

+2)，T_n為數列{b_n}的前n項和，求T_n．