定義：設函數y=f（x）在（a，b）內可導，f'（x）為f（x）的導數，f''（x）為f'（x）的導數即f（x）的二階導數，若函數y=f（x） 在（a，b）內的二階導數恒大于等于0，則稱函數y=f（x）是（a，b）內的下凸函數（有時亦稱為凹函數）．已知函數f（x）=xlnx
（1）證明函數f（x）=xlnx是定義域內的下凸函數，并在所給直角坐標系中畫出函數f（x）=xlnx的圖象；
（2）對?x₁，x₂∈R⁺，根據所畫下凸函數f（x）=xlnx圖象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]與x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小關系；
（3）當n為正整數時，定義函數N （n）表示n的最大奇因數．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

2n

i=1

xi=1，證明：

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．

設f（x）=ax³+bx²+cx的極小值是-5，其導函數的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對任意的x∈[

1

e

，e]都有f（x）≥x³-3lnx+m恒成立，求實數m的取值范圍．