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已知點E、F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點P，且它們的斜率之積為-

1

4

．
（1）求證：點P的軌跡在一個橢圓C上，并寫出橢圓C的方程；
（2）設過原點O的直線AB交（1）中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標為(1，

1

2

)，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率k_AB；
（3）反思（2）題的解答，當△MAB的面積取得最大值時，探索（2）題的結論中直線AB的斜率k_AB和OM所在直線的斜率k_OM之間的關系．由此推廣到點M位置的一般情況或橢圓的一般情況（使第（2）題的結論成為推廣后的一個特例），試提出一個猜想或設計一個問題，嘗試研究解決．
[說明：本小題將根據你所提出的猜想或問題的質量分層評分]．

（2013•浙江二模）某競猜活動有4人參加，設計者給每位參與者1道填空題和3道選擇題，答對一道填空題得2分，答對一道選擇題得1分，答錯得0分，若得分總數大于或等于4分可獲得紀念品，假定參與者答對每道填空題的概率為

1

2

，答對每道選擇題的概率為

1

3

，且每位參與者答題互不影響．
（Ⅰ）求某位參與競猜活動者得3分的概率；
（Ⅱ）設參與者獲得紀念品的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

（2006•海淀區一模）一次小測驗共有3道選擇題和2道填空題，每答對一道題得20分，答錯或不答得0分，某同學答對每道選擇題的概率均為0.8，答對每道填空題的概率均為0.5，各道題答對與否互不影響．
（Ⅰ）求該同學恰好答對2道選擇題和一道填空題的概率；
（Ⅱ）求該同學至多答對4道題的概率；
（Ⅲ）若該同學已經答對了兩道填空題，把他這次測驗的得分記為ξ，求ξ的概率分布及數學期望．