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（2013•薊縣二模）已知數列{a_n}的首項a₁=1，a₂=3，前n項和為S_n，且

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

，（n∈N^*，n≥2），數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（Ⅰ）判斷數列{a_n+1}是否為等比數列，并證明你的結論；
（Ⅱ）設cn=-an(bn-

n2

2

-1)，求c₁+c₂+c₃+…+c_n；
（Ⅲ）對于（Ⅰ）中數列{a_n}，若數列{l_n}滿足l_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在每兩個l_k與l_k+1之間都插入2^k-1（k=1，2，3，…k∈N^*）個2，使得數列{l_n}變成了一個新的數列{t_p}，（p∈N^*）試問：是否存在正整數m，使得數列{t_p}的前m項的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

（2012•陜西）設函數f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）
（1）設n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區間(

1

2

，1)內存在唯一的零點；
（2）設n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設x_n是f_n（x）在(

1

2

，1)內的零點，判斷數列x₂，x₃，…，x_n?的增減性．

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a1=

1

2

，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
（1）證明：數列{

n+1

n

Sn}是等差數列，并求S_n；
（2）設bn=

Sn

n3

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

34、已知a＞0，n為正整數．
（Ⅰ）設y=（x-a）ⁿ，證明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）設f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，對任意n≥a，證明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．