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（本小題滿分12分）已知等比數列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；

   （Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，證明:；

   （Ⅲ）設，證明：對任意的正整數n、m，均有

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（本小題滿分12分）已知函數，其中a為常數.

   （Ⅰ）若當恒成立，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）求的單調區間.

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分

1．D     2．B    3．C     4．D     5．B     6．C

7．A     8．D    9．B     10．B    11．C    12．A

二、填空題：本大題共6小題，共74分

13．5          14．3         15．       16．32

三、解答題：本大題共6小題，共74分

17．解：（I）由三角函數的定義可知

    （II）又為正三角形，

18．解：（I）

第三批旅游人數為

現用分層抽樣的方法在所有游客中抽取50名游客，應在第三批參加旅游的游客中抽取的人數為（人）

（II）設“第三批參加旅游的游客中到北京游的人數比到香港游的人數多”為事件A，第三批參加旅游的游客中到北京游的人數、到香港游的人數記為

由（I）知，且

則基本事件空間包含的基本事件有

（136，144）（137，143）（138，142）（139，141）（140，140）（141，139）（142，138）

（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133） 共12個。

事件A包含的基本事件有

（141，139）（142，138）（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133）共7個

答：第三批參加旅游的游客中到北京游的人數比到香港游的人數多的概率為

19．解：（I）取的中點，連結

在中，為的中點

四邊形為平行四邊形

（II）

側面底面，平面,

又是正三角形，為的中點，

（III）取的中點，連結,是邊長為2的正三角形，

又側面底面

20．解（I）由已知得，

數列是首項，公差的等差數列

（II）由（I）知

21．解:(I)由題意知，

由橢圓定義知，動點滿足的曲線方程是:

（II）由方程組

的面積

不存在直線滿足題意

22．解法一：

（I）由已知

（II）

由此得時，單調遞減；時，單調遞增

當，即時，

當，即時，

（III）

在在是減函數，

在上恒成立

即在上恒成立

在上恒成立

又當且僅當時等號成立。

解法二；（I）,(II)同解法一

（III）

在是減函數，

在上恒成立

即在上恒成立

不妨設

由于無解。

綜上所述，得出，即的取值范圍是