題目列表(包括答案和解析)
如圖所示的長方體
中，底面
是邊長為
的正方形，
為
與
的交點，
，
是線段
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大�。�
【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及二面角的求解的運用。中利用
，又
平面，
平面，∴平面由
，
，又
，∴平面．
可得證明
（3）因為∴
為面
的法向量．∵
，
，
∴
為平面的法向量．∴利用法向量的夾角公式，
，
∴
與
的夾角為
，即二面角的大小為．
方法一：解:（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．連接
，則點
、
，
∴，又點
，
，∴
∴
，且
與
不共線，∴．
又平面，平面，∴平面．…………………4分
（Ⅱ）∵
，
∴，，即，，
又，∴平面． ………8分
（Ⅲ）∵
，
，∴
平面，
∴為面的法向量．∵，，
∴為平面的法向量．∴，
∴與的夾角為，即二面角的大小為
17世紀(jì)，科學(xué)家們致力于運動的研究，如計算天體的位置，遠(yuǎn)距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量，炮彈的速度對于高度和射程的影響等．諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系對事物的變化規(guī)律作出判斷，如根據(jù)炮彈的速度推測它能達(dá)到的高度和射程．這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景．
“function”一詞最初由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(G．W．Leibniz，1646～1716)在1692年使用．在中國，清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811～1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”．
萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標(biāo)、切線等．1718年，他的學(xué)生，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(J．Bernoulli，1667～1748)強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示．后來，數(shù)學(xué)家認(rèn)為這不是判斷函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)．只要一些變量變化，另一些變量隨之變化就可以了．所以，1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L．Euler，1707～1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”．
當(dāng)時很多數(shù)學(xué)家對于不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣，甚至抱懷疑態(tài)度．函數(shù)的概念仍然是比較模糊的．
隨著對微積分研究的深入，18世紀(jì)末19世紀(jì)初，人們對函數(shù)的認(rèn)識向前推進(jìn)了．德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805～1859)在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)”．這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式．19世紀(jì)70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念又進(jìn)而用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募虾蛯?yīng)語言表述，這就是本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念．
綜上所述可知，函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá)，這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一樣的．
你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景，談?wù)剰某踔械礁咧袑W(xué)習(xí)函數(shù)概念的體會嗎？
1．探尋科學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題的過程，對指導(dǎo)我們的學(xué)習(xí)有什么現(xiàn)實意義？
2．萊布尼茲、狄利克雷等科學(xué)家有哪些品質(zhì)值得我們學(xué)習(xí)？
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