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從參加環保知識競賽的學生中抽出60名，將其成績(均為整數)整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題：

⑴80～90這一組的頻數、頻率分別是多少？

⑵估計這次環保知識競賽的及格率(60分及以上為及格)． （本小題滿分10分）

【解析】本試題主要考查了統計和概率的綜合運用。

第一問頻率：0.025×10＝0.25；……………3分

頻數：60×0.25＝15． ………………6分

第二問0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75

解：(1)頻率：0.025×10＝0.25；……………3分

頻數：60×0.25＝15． ………………6分

(2)0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75

 

某校從參加高三年級理科綜合物理考試的學生中隨機抽出名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段，…后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：

（Ⅰ）求分數在內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（Ⅱ）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試的

平均分；

（Ⅲ）若從名學生中隨機抽取人，抽到的學生成績在記分，在記分，

在記分，用表示抽取結束后的總記分，求的分布列和數學期望.

【解析】（1）中利用直方圖中面積和為1，可以求解得到分數在內的頻率為

（2）中結合平均值可以得到平均分為：

（3）中用表示抽取結束后的總記分x, 學生成績在的有人，在的有人，在的有人,結合古典概型的概率公式求解得到。

(Ⅰ)設分數在內的頻率為，根據頻率分布直方圖，則有，可得，所以頻率分布直方圖如右圖.……4分

（求解頻率3分，畫圖1分）

（Ⅱ）平均分為：……7分

（Ⅲ）學生成績在的有人，在的有人，

在的有人.并且的可能取值是.    ………8分

則；； ；

；.（每個1分）

所以的分布列為

	0	1	2	3	4

…………………13分

 

在本次數學期中考試試卷中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的。評分標準規定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分”.某考生每道題都給出一個答案, 且已確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：

（1）選擇題得滿分(50分)的概率；

（2）選擇題所得分數的數學期望。

【解析】第一問總利用獨立事件的概率乘法公式得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，

所以得分為50分的概率為：

第二問中，依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝         

得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，

所以概率為                            

得分為40分的概率為： 

同理求得，得分為45分的概率為： 

得分為50分的概率為：

得到分布列和期望值。

解：（1）得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，

所以得分為50分的概率為：                   …………5分

（2）依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝            …………6分

得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，

所以概率為                              …………7分

得分為40分的概率為：     …………8分

同理求得，得分為45分的概率為：                     …………9分

得分為50分的概率為：                      …………10分

所以得分的分布列為

	35	40	45	50

數學期望

 

學校要用三輛車從北湖校區把教師接到文廟校區，已知從北湖校區到文廟校區有兩條公路，汽車走公路①堵車的概率為，不堵車的概率為；汽車走公路②堵車的概率為，不堵車的概率為，若甲、乙兩輛汽車走公路①，丙汽車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響。（I）若三輛車中恰有一輛車被堵的概率為，求走公路②堵車的概率；（Ⅱ）在（I）的條件下，求三輛車中被堵車輛的個數的分布列和數學期望。

【解析】第一問中，由已知條件結合n此獨立重復試驗的概率公式可知，得

第二問中可能的取值為0，1，2，3  ，       

 ， 

從而得到分布列和期望值

解：（I）由已知條件得 ，即，則的值為。

 （Ⅱ）可能的取值為0，1，2，3  ，       

 ， 

   的分布列為：（1分）

 

	0	1	2	3

 

 

 

 

所以 

 

某校從參加高三年級第一學期期末考試的學生中抽出50名學生，并統計了他們的數學成績（成績均為整數，滿分為100分），將數學成績進行分組并根據各組人數制成如下頻率分布表：

（Ⅰ）將上面的頻率分布表補充完整，并估計本次考試全校85分以上學生的比例；

（Ⅱ）為了幫助成績差的同學提高數學成績，學校決定成立“二幫一”小組，即從成績為中任選出兩位同學，共同幫助成績在中的某一個同學，試列出所有基本事件；若同學成績為43分，同學成績為95分，求、兩同學恰好被安排在“二幫一”中同一小組的概率．

分 組	頻 數	頻 率[來源:學_科_網]
[40, 50 ）	2	0.04
[ 50, 60 ）	3	0.06
[ 60, 70 ）	14	0.28
[ 70, 80 ）	15	0.30
[ 80, 90 ）
[ 90, 100 ]	4	0.08
合 計

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【解析】第一問利用表格可知第五行以此填入  12   0.24

第七行以此填入  50   1   估計本次全校85分以上學生比例為32％

第二問中，設數學成績在[90，100]間的四個同學分別用字母B1，B2，B3，B4表示；被幫助的兩個同學為A₁，A₂出現的“二幫一”小組有A₁B₁B₂；A₁B₁B₃；A₁B₁B₄；A₁B₂B₃；A₁B₂B₄；A₁B₃B₄

A₂B₁B₂；A₂B₁B₃；A₂B₁B₄；A₂B₂B₃；A₂B₂B₄；A₂B₃B₄

A₁、B₁兩同學恰好被安排在“二幫一”中同一小組的有   A₁B₁B₂；A₁B₁B₃；A₁B₁B₄

l利用古典概型概率得到。

（Ⅰ）第五行以此填入  12   0.24                ……………2分

第七行以此填入  50   1                  ……………4分

估計本次全校85分以上學生比例為32％                ……………6分

（Ⅱ）設數學成績在[90，100]間的四個同學分別用字母B₁，B₂，B₃，B₄表示；被幫助的兩個同學為A₁，A₂出現的“二幫一”小組有A₁B₁B₂；A₁B₁B₃；A₁B₁B₄；A₁B₂B₃；A₁B₂B₄；A₁B₃B₄

A₂B₁B₂；A₂B₁B₃；A₂B₁B₄；A₂B₂B₃；A₂B₂B₄；A₂B₃B₄

A₁、B₁兩同學恰好被安排在“二幫一”中同一小組的有   A₁B₁B₂；A₁B₁B₃；A₁B₁B₄     

所以  A₁、B₁兩同學恰好被安排在“二幫一”中同一小組的概率為 3 /12 =1 /4