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[例1] 求下列極限: (1); (2) (-n); (3)(++-+)．分析:(1)因為分子分母都無極限.故不能直接運用商的極限運算法則.可通過變形分子分母同除以n2后再求極限,(2)因與n都沒有極限.可先分子有理化再求極限,(3)因為極限的運算法則只適用于有限個數列.需先求和再求極限．解:(1)==． (2) (-n)= ==． (3)原式===(1+)=1． ◆特別提示::對于(1)要避免下面兩種錯誤:①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在.∴原式無極限．對于(2)要避免出現下面兩種錯誤: ①(-n)= -n=∞-∞=0;②原式=-n=∞-∞不存在．對于(3)要避免出現原式=++-+=0+0+-+0=0這樣的錯誤． [例2] 已知數列{an}是由正數構成的數列.a1＝3.且滿足lgan＝lgan-1+lgc.其中n是大于1的整數.c是正數． (1)求數列{an}的通項公式及前n和Sn, (2)求的值．解:(1)由已知得an＝c·an-1, ∴{an}是以a1＝3.公比為c的等比數列.則an＝3·cn-1． ∴Sn＝ (2) ＝． ①當c=2時.原式＝-; ②當c＞2時.原式＝＝-; ③當0＜c＜2時.原式=＝．評述:求數列極限時要注意分類討論思想的應用． [例3] 已知直線l:x-ny=0(n∈N *),圓M:(x+1)2+(y+1)2=1,拋物線:y=(x-1)2,又l與M交于點A.B.l與交于點C.D.求．分析:要求的值.必須先求它與n的關系．解:設圓心M到直線l的距離為d,則d2=．又r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=．設點C(x1,y1), D(x2,y2). 由nx2-(2n+1)x+n=0, ∴x1+x2=, x1·x2=1． ∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,(y1-y2)2=(-)2=, ∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(4n+1)(n2+1)． ∴===2．評述:本題屬于解析幾何與數列極限的綜合題．要求極限.需先求,這就要求掌握求弦長的方法． [例4]若數列{an}的首項為a1=1,且對任意n∈N*,an與an+1恰為方程x2-bnx+cn=0的兩根,其中0＜|c|＜1,當(b1+b2+-+bn)≤3時,求c的取值范圍．解:首先,由題意對任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立． ∴===c．又a1·a2=a2=c． ∴a1,a3,a5,-,a2n-1,-是首項為1,公比為c的等比數列,a2,a4,a6,-,a2n,-是首項為c,公比為c的等比數列．其次,由于對任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立． ∴==c．又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, ∴b1,b3,b5,-,b2n-1,-是首項為1+c,公比為c的等比數列,b2,b4,b6,-,b2n,-是首項為2c,公比為c的等比數列, ∴ (b1+b2+b3+-+bn) = (b1+b3+b5+-)+ (b2+b4+-) =+≤3．解得c≤或c＞1．∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或-1＜c＜0．故c的取值范圍是∪(0,］．提煉方法: 本題的解題目標是將題設中的極限不等式轉化為關于c的不等式,即將{bn}的各項和表示為關于c的解析式;關鍵是對數列特點的分析和運用;顯然“起點應是一元二次方程根與系數的關系． [研討．欣賞]在大沙漠上進行勘測工作時,先選定一點作為坐標原點,然后采用如下方法進行:從原點出發,在x軸上向正方向前進a(a＞0)個單位后,向左轉90°,前進a r (0＜r＜1＝個單位,再向左轉90°,又前進a r2個單位,-,如此連續下去． (1)若有一小分隊出發后與設在原點處的大本營失去聯系,且可以斷定此小分隊的行動與原定方案相同,則大本營在何處尋找小分隊? (2)若其中的r為變量,且0＜r＜1,則行動的最終目的地在怎樣的一條曲線上? 剖析:(1)小分隊按原方案走,小分隊最終應在運動的極限位置． (2)可先求最終目的地關于r的參數形式的方程．解:(1)由已知可知即求這樣運動的極限點,設運動的極限位置為Q(x,y),則 x=a-ar2+ar4--==, y=ar-ar3+ar5--=, ∴大本營應在點(,)附近去尋找小分隊． (2)由消去r得(x-)2+y2=(其中x＞,y＞0), 即行動的最終目的地在以(,0)為圓心,為半徑的圓上．【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

求下列極限：
（1）

lim

n→∞

+n+7

5n2+7

；
（2）

lim

n→∞

（

n2+n

-n）；
（3）